Sigma-代數與測度

我們被允許測量哪些集合？

測度無法給實數軸的 每一個 子集都賦予大小（我們很快會證明這一點）。因此我們先固定一族「被允許的」集合，要求它對我們關心的運算封閉。集合 X 上的一個 sigma-代數 是 X 的子集所構成的族 M，滿足三條公理：(1) X ∈ M；(2) 若 A ∈ M，則其補集 X\A ∈ M；(3) 若 A_1, A_2, … 是 M 中的 可數 序列，則其並集 ⋃A_n ∈ M。

由這三條我們可以免費得到更多。空集 ∅ = X\X 屬於 M。有限並是可數並的特例。再由德摩根律，可數 交 也屬於 M，因為 ⋂A_n = X\⋃(X\A_n)。所以 sigma-代數恰是對補運算與可數並都穩定的集族——從而對一套大小理論所需的全部簿記運算都穩定。

測度是什麼

給定 X 上的 sigma-代數 M，一個 測度 是函數 μ : M → [0, ∞]（取值於 擴充實數，故允許 ∞），滿足兩條公理。其一，μ(∅) = 0。其二，[[countable-additivity|可數可加性]]：若 A_1, A_2, … 是 M 中兩兩不交的集合，則 μ(⋃A_n) = Σ μ(A_n)。可數可加性是整台引擎：正是它讓極限與無窮過程能優雅地與大小相互作用。

有兩條推論立刻成立，我們應當證明它們，因為它們無處不在。單調性：若 A ⊆ B，則 μ(A) ≤ μ(B)。以及可數 次可加性：即使 A_n 相互重疊，也有 μ(⋃A_n) ≤ Σ μ(A_n)。證明是簡短的「化為不交」的論證。

MONOTONICITY.  Suppose A subset B, both in M.
  Write B = A union (B \ A), a DISJOINT union (A and B\A share no point).
  Both A and B\A lie in M (sigma-algebra closed under complement/intersection).
  By finite additivity (a special case of countable additivity, padding with empties):
      mu(B) = mu(A) + mu(B \ A).
  Since mu(B \ A) >= 0,  we get  mu(A) <= mu(B).            QED

COUNTABLE SUBADDITIVITY.  Given A_1, A_2, ... in M (possibly overlapping).
  Disjointify: set
      B_1 = A_1,
      B_n = A_n \ (A_1 union ... union A_{n-1})   for n >= 2.
  Then the B_n are pairwise disjoint, B_n subset A_n, and union B_n = union A_n.
  By countable additivity and monotonicity (B_n subset A_n):
      mu(union A_n) = mu(union B_n) = sum mu(B_n) <= sum mu(A_n).   QED

實數軸上最小的自然 sigma-代數

在實數軸上有一個無法迴避的典範 sigma-代數。取所有開區間，作出包含它們的 最小 sigma-代數——即所有包含開集的 sigma-代數之交。這就是 波萊爾 sigma-代數，其成員是 波萊爾集。它們包含每個開集、每個閉集、每個可數集，以及一切可由這些經可數次並、交、補構造出的集合。