一個黎曼積分處理不了的函數
回憶 黎曼積分 的工作方式：我們把定義域切成小區間，在每一小段上對函數作上、下估計，然後看 上達布和 與 下達布和 能否被擠到一起。對連續函數它運行得很完美；對於振盪過於劇烈的函數，它會徹底失敗。
經典的反例是 狄利克雷函數 D：在有理數處取 1，在無理數處取 0。無論子區間多麼小，其中總同時含有有理數與無理數，因此 D 的上確界為 1、下確界為 0。上和恆為 1，下和恆為 0，二者永不相遇。根據 黎曼判別準則，D 不是黎曼可積的——然而從直覺上看它的「面積」本應為 0，因為有理數只是一個微不足道的、可數 的散點。
極限與積分拒絕交換
更深層的缺陷出現在取極限時。把 [0,1] 中的有理數排成 q_1, q_2, q_3, …，令 f_n 在前 n 個有理數上取 1、其餘處取 0。每個 f_n 除有限多個點外皆為零，因此每個 f_n 都是 黎曼可積的，積分為 0。但 f_n 逐點 收斂到狄利克雷函數 D，而 D 根本不可積。可積函數的極限未必可積——這套理論對我們最想取的那類極限並不封閉。
Setup: list rationals in [0,1] as q_1, q_2, q_3, ...
f_n(x) = 1 if x in {q_1, ..., q_n}
= 0 otherwise
Each f_n is 0 except at n points, hence Riemann integrable:
integral_0^1 f_n = 0 (for every n)
Pointwise limit:
for x rational : x = q_k for some k, so f_n(x) = 1 once n >= k -> 1
for x irrational: f_n(x) = 0 for all n -> 0
Thus f_n -> D pointwise, where D = Dirichlet function.
Now compare:
lim_n integral_0^1 f_n = lim_n 0 = 0 (exists)
integral_0^1 ( lim_n f_n ) = integral_0^1 D = DOES NOT EXIST (Riemann)
Conclusion: under Riemann's definition we cannot even ASK whether
lim integral = integral lim ,
because the right-hand side is undefined. The limit escaped the theory.這種 極限交換 問題絕非奇技淫巧——它恰恰是分析、概率和偏微分方程中反覆需要用到的。我們想要穩健的定理：「若 f_n → f 且 f_n 不太狂野，則 ∫f_n → ∫f。」黎曼積分只有在 一致收斂 這類很強的附加假設下才給出這種定理；而 勒貝格理論 將在遠為溫和的條件下給出它們。
策略轉變：切分值域，測量集合
黎曼切分的是 定義域（x 軸）的區間。勒貝格的想法是改為切分 值域（y 軸）：問「在哪些 x 處函數值介於 0.3 與 0.4 之間？」，再去稱量這一組 x。要做到這一點，我們必須能給集合 {x : 0.3 ≤ f(x) ≤ 0.4} 賦予一個大小——一個 測度——而這樣的集合可能遠比區間複雜。