符號測度
(X, M) 上的 符號測度 ν 是可數可加的，但允許取值於 (−∞, +∞]（或 [−∞, +∞)），且 ν(∅) = 0。典型例子是 ν(E) = ∫_E g dμ，其中 g 是變號的 可積函數。Hahn 分解把 X 拆為正集 P 與負集 N，Jordan 分解把 ν = ν⁺ − ν⁻ 寫成兩個分別居於 P、N 上的真正（非負）測度 之差。
絕對連續性與密度
測度 ν 關於 μ 絕對連續，記作 ν ≪ μ，若每個 μ 零測集也是 ν 零測集：μ(E) = 0 ⇒ ν(E) = 0。直觀上 ν 看不見 μ 忽略的任何東西。Radon–Nikodym 定理 說，對 σ 有限測度，這等價於 ν 由密度給出：存在非負可測 g 使對一切 E 有 ν(E) = ∫_E g dμ。該 g 是 Radon–Nikodym 導數 dν/dμ，在 μ 幾乎處處 相等意義下唯一。
Easy direction: density ⇒ absolute continuity.
Suppose ν(E) = ∫_E g dμ with g ≥ 0 measurable.
Let E satisfy μ(E) = 0.
Then the integrand g·1_E is 0 μ-almost everywhere,
since it can be nonzero only on E, a μ-null set. Hence
ν(E) = ∫_E g dμ = ∫ g·1_E dμ = 0.
So μ(E) = 0 ⇒ ν(E) = 0, i.e. ν ≪ μ. ∎
Uniqueness of the density.
If ∫_E g₁ dμ = ∫_E g₂ dμ for all E, take
E = { g₁ > g₂ }. Then ∫_E (g₁ − g₂) dμ = 0
with integrand ≥ 0, forcing μ(E) = 0; symmetrically μ{g₂ > g₁}=0.
Thus g₁ = g₂ μ-a.e. ∎依測度收斂與依範數收斂
序列 fₙ → f 依測度收斂，若對每個 ε > 0 有 μ{ |fₙ − f| > ε } → 0。這確實弱於 Lᵖ 範數 收斂：範數收斂蘊含依測度收斂（由 Chebyshev），但反之不然。下面的行波例子展示了各種收斂如何成立而其餘失敗。
Chebyshev: norm convergence ⇒ convergence in measure.
For ε > 0, on the set A = { |fₙ − f| > ε } we have |fₙ−f|ᵖ > εᵖ, so
εᵖ · μ(A) ≤ ∫_A |fₙ−f|ᵖ dμ ≤ ‖fₙ − f‖ₚᵖ.
Thus μ{ |fₙ−f| > ε } ≤ ‖fₙ − f‖ₚᵖ / εᵖ → 0.
Converse fails — the 'sliding bump' on [0,1] (Lebesgue):
enumerate dyadic intervals I = [j/2ᵏ, (j+1)/2ᵏ] in order of length,
and let fₙ = 1_{Iₙ}. The bump width → 0, so for 0 < ε < 1:
μ{ fₙ > ε } = length(Iₙ) → 0 (converges in measure to 0),
yet ‖fₙ‖ₚ = length(Iₙ)^(1/p) → 0 here too — refine instead with
gₙ = 2^{k/p} · 1_{Iₙ}. Then ‖gₙ‖ₚ = 1 for all n (no norm limit),
while still gₙ → 0 in measure. So in measure ⇏ in norm. ∎