乘積測度與 Fubini–Tonelli

建構乘積測度

從兩個 σ 有限的測度空間 (X, A, μ) 與 (Y, B, ν) 出發。X × Y 上的乘積 σ 代數 A ⊗ B 由可測矩形 A × B（A ∈ A，B ∈ B）生成。乘積測度 μ × ν 是 A ⊗ B 上唯一一個把每個矩形賦予其預期面積的測度，即 (μ × ν)(A × B) = μ(A) · ν(B)。σ 有限性正是使該測度唯一的條件。

先 Tonelli 後 Fubini

合併的 Fubini–Tonelli 定理分兩半。Tonelli：若 f ≥ 0 是 A ⊗ B 可測的，則兩個累次積分與二重積分全部相等——無需可積性假設，其值只是可能為 +∞。Fubini（本來的 Fubini 定理）：若 f 對 μ × ν 可積，則同樣三個積分相等且有限。標準做法是先對 |f| 用 Tonelli，以許可對 f 用 Fubini。

Statement (σ-finite μ, ν; f measurable on X×Y).

Tonelli (f ≥ 0):
    ∫_{X×Y} f d(μ×ν)
      = ∫_X ( ∫_Y f(x,y) dν(y) ) dμ(x)
      = ∫_Y ( ∫_X f(x,y) dμ(x) ) dν(y),
    where every expression lies in [0, +∞].

Fubini (f integrable, i.e. ∫|f| d(μ×ν) < ∞):
    the same three quantities are equal AND finite;
    moreover  y ↦ f(x,y) is in L¹(ν) for μ-a.e. x,
    and  x ↦ ∫ f(x,y) dν(y) is in L¹(μ).

The usual workflow:
  1. Apply Tonelli to |f| ≥ 0; check ∫∫ |f| dν dμ < ∞.
  2. That finiteness is exactly the Fubini hypothesis.
  3. Now swap the order of integration for f freely.

Tonelli 無可積性假設，Fubini 有——用 Tonelli 檢驗 |f| 來確認它。

為何假設不可商量

人們總想對任意函數交換積分次序。別這樣。這是經典反例：一個不可積的函數，其兩個累次積分都存在卻不相等。教訓是：通過 Tonelli 做的可積性檢驗是承重的，而非官僚程序。

Counterexample on [0,1] × [0,1] with Lebesgue measure.
Let  f(x,y) = (x² − y²) / (x² + y²)²   (and f(0,0) := 0).

Inner integral over y, then x:
    ∫₀¹ ( ∫₀¹ f dy ) dx = ∫₀¹ [ 1/(1+x²) ] dx = π/4.

Inner integral over x, then y (by the x↔y antisymmetry):
    ∫₀¹ ( ∫₀¹ f dx ) dy = − π/4.

The two iterated integrals are π/4 and −π/4: NOT equal.
No contradiction with Fubini, because
    ∫∫ |f| dx dy = ∞,
so f is NOT integrable and Fubini does not apply.
Tonelli on |f| would have caught this immediately. ∎

π/4 ≠ −π/4：當 ∫∫|f| = ∞ 時次序有關。