這裡的完備性是什麼意思
Lᵖ 中的序列 (fₙ) 依範數 Cauchy，是指當 n, m → ∞ 時 ‖fₙ − fₘ‖ₚ → 0。Riesz–Fischer 定理 說每個這樣的序列都有極限 f ∈ Lᵖ 使 ‖fₙ − f‖ₚ → 0。換言之 Lᵖ 是 完備 的賦範空間——一個 Banach 空間。沒有它，逼近的極限可能漏出空間之外，Lᵖ 上的分析將崩潰。
證明，逐步進行
- 抽取一個快速子列。從 Cauchy 序列中取 n₁ < n₂ < …，使 ‖f_{n_{k+1}} − f_{n_k}‖ₚ ≤ 2^(−k)。記 g_k = f_{n_{k+1}} − f_{n_k}，則 Σ ‖g_k‖ₚ ≤ Σ 2^(−k) = 1 有限。
- 建構控制函數。令 G = |f_{n_1}| + Σ |g_k|。由 Minkowski 與單調收斂，‖G‖ₚ ≤ ‖f_{n_1}‖ₚ + Σ ‖g_k‖ₚ < ∞，故 G ∈ Lᵖ，特別地 G(x) 幾乎處處有限。
- 得到逐點極限。在 G(x) < ∞ 處，級數 f_{n_1}(x) + Σ g_k(x) 絕對收斂，其部分和裂項為 f_{n_k}(x)。記其極限為 f(x)。於是 f_{n_k} → f 幾乎處處成立，且 |f| ≤ G，故 f ∈ Lᵖ。
- 升格為範數收斂。因 |f_{n_k} − f|ᵖ ≤ (2G)ᵖ ∈ L¹ 且 f_{n_k} → f 幾乎處處，控制收斂定理給出 ‖f_{n_k} − f‖ₚ → 0。最後，子列收斂的 Cauchy 序列必收斂，故 ‖fₙ − f‖ₚ → 0。
Why the subsequence pins down the whole sequence.
Given ε > 0, Cauchy gives N with ‖fₙ − fₘ‖ₚ < ε/2 for n, m ≥ N.
We also have ‖f_{n_k} − f‖ₚ → 0, so pick k with n_k ≥ N and
‖f_{n_k} − f‖ₚ < ε/2.
Then for every n ≥ N, by Minkowski (the triangle inequality):
‖fₙ − f‖ₚ ≤ ‖fₙ − f_{n_k}‖ₚ + ‖f_{n_k} − f‖ₚ
< ε/2 + ε/2 = ε.
Hence ‖fₙ − f‖ₚ → 0. ∎