定義
固定一個測度空間 (X, M, μ)。對實數 p 滿足 1 ≤ p < ∞，空間 Lᵖ(μ) 是 X 上那些使 |f|ᵖ 的積分有限的 可測函數 f 的全體。該積分取 1/p 次冪，就是 f 的 Lᵖ 範數，記作 ‖f‖ₚ = (∫ |f|ᵖ dμ)^(1/p)。因此 f 屬於 Lᵖ 當且僅當 ‖f‖ₚ < ∞。
p = 1 的情形回到普通的 可積函數：‖f‖₁ = ∫ |f| dμ。p = 2 的情形給出平方可積函數，是唯一同時是 Hilbert 空間的 Lᵖ。更大的 p 對 |f| 的大值加權更重，因此屬於更高的 Lᵖ 是對函數允許長多高的更強要求。
為何要在零測集意義下工作
微妙之處在此。我們希望 ‖·‖ₚ 是真正的 範數，而範數必須滿足 ‖f‖ = 0 ⇒ f = 0。但 ∫ |f|ᵖ = 0 只能迫使 f 幾乎處處 為 0，而非處處為 0——一個在單點取 1、別處取 0 的函數其 Lᵖ 範數為零卻不是零函數。因此原始的 ‖·‖ₚ 只是半範數。
補救辦法是：當兩個函數幾乎處處相等時宣布它們等價，並把這個 等價類 當作 Lᵖ 的真正對象。於是 ‖f‖ₚ = 0 意味著 f 的類是零類，那些點質量反例隨之消失。從此 Lᵖ 的元素是函數的等價類，儘管我們仍像寫單個函數那樣書寫它。
Claim: on Lᵖ (classes mod a.e. equality), ‖f‖ₚ = 0 iff f = 0 in Lᵖ.
(⇐) If f is the zero class, pick the representative f ≡ 0.
Then ∫ |0|ᵖ dμ = 0, so ‖f‖ₚ = 0.
(⇒) Suppose ‖f‖ₚ = 0, i.e. ∫ |f|ᵖ dμ = 0.
Let A = { x : |f(x)| > 0 }, and A_n = { x : |f(x)| > 1/n }.
On A_n we have |f|ᵖ > (1/n)ᵖ, so
0 = ∫ |f|ᵖ dμ ≥ ∫_{A_n} |f|ᵖ dμ ≥ (1/n)ᵖ · μ(A_n).
Hence μ(A_n) = 0 for every n.
Since A = ∪_n A_n is a countable union of null sets,
μ(A) ≤ Σ μ(A_n) = 0.
So f = 0 almost everywhere, i.e. f is the zero class. ∎