一致連續性

一個 δ 統御全局

普通連續性允許 δ 依賴於點 a。一致連續性禁止這種依賴：f 在集合 S 上一致連續，是指對每個 ε > 0 都存在一個 δ > 0（對整個集合都有效），使得對所有 x, y 屬於 S，|x - y| < δ 蘊含 |f(x) - f(y)| < ε。改變純粹在於量詞的順序——δ 在 x 和 y 之前選定，而非之後。

Claim: f(x) = x^2 is NOT uniformly continuous on [0, infinity).
  Fix epsilon = 1. We show NO single delta works.
  Take the pair  x_n = n + 1/n,  y_n = n.
    |x_n - y_n| = 1/n -> 0   (so eventually < any delta),
  but
    |f(x_n) - f(y_n)| = (n + 1/n)^2 - n^2 = 2 + 1/n^2 > 2 > 1 = epsilon.
  So points get arbitrarily close while their images stay > 1 apart.
  No delta can force the images within epsilon = 1.  Hence not uniformly continuous.

x^2 處處連續，卻在半直線上不一致連續：斜率無界地增長。

連續性何時免費升級

在有界閉區間上這種區別消失了：在 [a, b] 上連續的函數在那裡自動一致連續。這有時稱為海涅–康托爾定理，本質上是一個關於緊性的陳述——由海涅–博雷爾定理，該區間是緊的。反證法的證明以與極值定理相同的方式使用波爾查諾–魏爾斯特拉斯定理。

Theorem (Heine-Cantor): f continuous on compact [a,b] => f uniformly continuous on [a,b].
Proof (contradiction):
  Suppose not. Then for some epsilon > 0, for every n, there are points
     x_n, y_n in [a,b]  with  |x_n - y_n| < 1/n   but   |f(x_n) - f(y_n)| >= epsilon.
  By Bolzano-Weierstrass, pass to a subsequence x_{n_k} -> p in [a,b].
  Since |x_{n_k} - y_{n_k}| < 1/n_k -> 0,  also  y_{n_k} -> p.
  By continuity at p:  f(x_{n_k}) -> f(p)  and  f(y_{n_k}) -> f(p),
     so  |f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| -> 0.
  But that quantity is >= epsilon for all k -- contradiction.  QED

緊性彌合了鴻溝：在 [a,b] 上連續等同於在那裡一致連續。

一致連續性的一個乾淨充分條件是利普希茨連續性：若存在常數 K 使得對所有 x, y 有 |f(x) - f(y)| <= K|x - y|，那麼只需取 δ = ε/K，一致連續的定義立刻得到滿足。每個利普希茨函數都一致連續；反之則不成立（[0, 1] 上的 sqrt(x) 一致連續但不是利普希茨的，因為它的斜率在 0 處爆炸）。這些反例精確地刻畫了連續、一致連續、利普希茨這三個概念如何嚴格地層層包含。