介值定理
介值定理（IVT）說：若 f 在 [a, b] 上連續，且 y 介於 f(a) 與 f(b) 之間，則存在 [a, b] 中的某個 c 使 f(c) = y。區間上的連續函數不能跳過任何一個值。這是「你不可能不觸及中間每一點就穿過一條路」這一看似顯然的斷言的嚴格版本——但它暗中依賴於實數的完備性。
Theorem (IVT, root form): f continuous on [a,b], f(a) < 0 < f(b) => exists c with f(c)=0.
Proof sketch (via supremum):
Let S = { x in [a,b] : f(x) < 0 }.
S is nonempty (a is in S) and bounded above by b, so by completeness
c = sup(S) exists in [a,b].
We show f(c) = 0 by ruling out the other cases:
If f(c) < 0: by continuity f stays < 0 on a little interval around c,
so some x slightly > c is still in S -> contradicts c = sup S.
If f(c) > 0: by continuity f stays > 0 just left of c,
so a smaller number is also an upper bound -> contradicts c = sup S.
Both fail, hence f(c) = 0. QED有界性與極值
有界性定理說：在有界閉區間 [a, b] 上連續的函數在該區間上有界。極值定理（EVT）更進一步：這樣的函數實際上能取到它的最大值和最小值——存在 [a, b] 中的點 p, q，使得對所有 x 有 f(p) <= f(x) <= f(q)。標準證明用到波爾查諾–魏爾斯特拉斯定理。
- 有界性：若 f 在上方無界，取 [a,b] 中的 x_n 使 f(x_n) > n。由波爾查諾–魏爾斯特拉斯定理，存在子序列 x_{n_k} -> p 屬於 [a,b]。連續性迫使 f(x_{n_k}) -> f(p)（一個有限數）——但 f(x_{n_k}) > n_k -> 無窮，矛盾。所以 f 有界。
- 現在令 M = f 在 [a,b] 上的上確界，由於 f 有界，它由完備性而存在。選取 x_n 使 f(x_n) -> M（由上確界的定義可行）。
- 由波爾查諾–魏爾斯特拉斯定理抽取 x_{n_k} -> q 屬於 [a,b]。連續性給出 f(q) = lim f(x_{n_k}) = M。於是上確界在 q 處達到——它是真正的最大值。對 -f 應用同樣的論證即得最小值。