定義
函數 f 在 a 處連續，如果三件事成立：f(a) 有定義，當 x -> a 時 f(x) 的極限存在，並且兩者相等。把它們合在一起得到一個自足的 ε–δ 陳述：f 在 a 處連續，當對每個 ε > 0 都存在 δ > 0，使得（定義域內）|x - a| < δ 蘊含 |f(x) - f(a)| < ε。
集合 S 上的連續函數是指在 S 的每一點都連續的函數。根據連續性的序列判別法（也稱海涅連續性），f 在 a 處連續當且僅當 x_n -> a 蘊含 f(x_n) -> f(a)。這種序列形式往往是證明連續函數的和、積、複合仍連續的最快途徑，因為它繼承了序列極限的代數運算。
連續性如何失效
當 f 在 a 處不連續時，我們就有一個間斷點，並且有一套整齊的分類。可去間斷點是指雙側極限存在，但與 f(a) 不符（或填補了缺失的 f(a)）——你可以透過重新定義一個值來「修補」它。跳躍間斷點是指兩個單側極限都存在但不相等。其餘情況（某一側根本沒有有限極限）都是本質間斷點。
Removable: g(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) for x != 1, undefined at 1.
For x != 1, g(x) = x + 1, so lim_{x->1} g(x) = 2.
The limit exists; just set g(1) = 2 to make it continuous.
Jump: h(x) = floor(x) at x = 2.
lim_{x->2-} h = 1, lim_{x->2+} h = 2. Both exist but differ -> jump of size 1.
Essential: sin(1/x) at 0.
Neither one-sided limit exists (oscillation) -> not removable, not a jump.診斷方法始終一樣：計算兩個單側極限，並把它們彼此比較、再與 f(a) 比較。這正是上一篇關於單側極限和序列極限的機制在此處發揮作用的原因。