從一側逼近
有時函數在一個點的兩側表現不同。單側極限限制了逼近的方向。右極限，記作當 x -> a+ 時 f(x) 的極限，只要求對區間 (a, a + δ) 內的 x 滿足 ε–δ 條件；左極限 x -> a- 則使用 (a - δ, a)。具體地說，當對每個 ε > 0 都存在 δ > 0，使得只要 a < x < a + δ 就有 |f(x) - L+| < ε 時，右極限就是 L+。
Let f(x) = x / |x| for x != 0.
For x > 0: f(x) = x/x = 1, so lim_{x->0+} f(x) = 1.
For x < 0: f(x) = x/(-x) = -1, so lim_{x->0-} f(x) = -1.
Since 1 != -1, the two-sided limit lim_{x->0} f(x) does NOT exist.
(The function has a jump at 0.)序列判別法
函數世界與序列世界之間有一座橋。序列判別法說：當 x -> a 時 f(x) 的極限等於 L，當且僅當對定義域中每個滿足 x_n != a 且 x_n -> a 的序列 (x_n)，其像序列 f(x_n) -> L（通常意義下的序列極限）。一個關於連續逼近的陳述變成了一個關於所有序列的陳述。
這對於反駁極限非常有用：你只需找到一個滿足 x_n -> a 但 f(x_n) 不收斂到 L 的序列，或者兩個像趨於不同值的序列。經典的病態例子是 0 附近的 f(x) = sin(1/x)。
Claim: lim_{x->0} sin(1/x) does not exist.
Take two sequences both ->0:
a_n = 1/(n*pi) => sin(1/a_n) = sin(n*pi) = 0, so f(a_n) -> 0.
b_n = 1/(2*pi*n + pi/2) => sin(1/b_n) = sin(2*pi*n+pi/2) = 1, so f(b_n) -> 1.
Two sequences -> 0 give image limits 0 and 1.
By the sequential criterion, lim_{x->0} sin(1/x) cannot exist. QED