從圖像到承諾
非正式地說，函數 f 在點 a 處的函數極限是當 x 接近 a 時 f(x) 所接近的那個值 L。麻煩在於「接近」這個詞。接近到什麼程度才夠？ε–δ 定義（函數）的巧妙之處在於把它變成一個有必勝策略的博弈。質疑者給出一個容差 ε > 0，要求 f(x) 落在 L 的 ε 範圍內。你必須用一個間隔 δ > 0 回應，使得每一個與 a 相距小於 δ（但不等於 a）的 x 都被迫進入那個容差範圍。
形式上：當對每個 ε > 0 都存在 δ > 0，使得對所有 x，只要 0 < |x - a| < δ 就有 |f(x) - L| < ε 時，我們說當 x -> a 時 f(x) 的極限等於 L。注意 0 < |x - a| 排除了 x = a 本身：極限從不問在 a 處發生什麼，只問在 a 附近發生什麼。這就是為什麼 a 必須是定義域的聚點——a 的每個鄰域都必須包含定義域中的其他點，否則該條件就是空洞的。
親手證明一個極限
標準套路是先草稿，後證明。在草稿中，你從目標 |f(x) - L| < ε 出發，反推 |x - a| 必須有多小。然後在正式證明裡，你先宣布 δ，再正向驗證。讓我們證明當 x -> 2 時 (3x + 1) 的極限等於 7。
Claim: lim_{x->2} (3x + 1) = 7.
Scratch work (find delta):
|f(x) - L| = |(3x + 1) - 7| = |3x - 6| = 3|x - 2|.
We want 3|x - 2| < epsilon, i.e. |x - 2| < epsilon/3.
So delta = epsilon/3 should work.
Proof:
Let epsilon > 0 be given. Choose delta = epsilon/3 > 0.
Suppose 0 < |x - 2| < delta. Then
|f(x) - 7| = |3x - 6| = 3|x - 2| < 3*delta = 3*(epsilon/3) = epsilon.
Hence |f(x) - 7| < epsilon, as required. QED對於像 x^2 這樣的非線性函數，斜率會變化，所以 δ 既依賴於 a 也依賴於 ε。一個常用技巧是先限制 δ <= 1 來界定那個「討厭」的因子，然後取 δ = min(1, 某式/ε)。整套機制都依賴於作為距離的絕對值及其不等式；掌握這些操作就是初等實分析中大半的功夫。