量詞及其否定

對所有，存在

[[universal-quantifier|全稱量詞]] ∀ 意為「對每個」，[[existential-quantifier|存在量詞]] ∃ 意為「至少存在一個」。「∀ε > 0, ε > 0」為真；「∃x, x² = 2」在實數上為真，在有理數上為假。要證明 ∀x P(x)，你必須處理一個任意的 x——不能挑一個方便的。要證明 ∃x P(x)，你只需給出一個見證即可。

次序極其重要。「∀x ∃y (y > x)」說每個數都有比它更大的——真。交換它們：「∃y ∀x (y > x)」說有一個固定的 y 大過每個 x——假，沒有最大的實數。讀分析學中的定義時，要像追蹤括號一樣追蹤量詞的次序：後出現的量詞可能依賴於在它之前選定的變量。

否定規則

這裡是包辦一切的那一條規則。要構造[[negation-of-a-quantifier|否定]]，把 ¬ 向內推：∀ 變 ∃，∃ 變 ∀，內部命題被否定。¬(∀x P(x)) 即 ∃x ¬P(x)：「並非人人有性質 P」意思是「有人缺它」。¬(∃x P(x)) 即 ∀x ¬P(x)：「無人有 P」意思是「人人缺它」。從左到右逐個應用，每經過一個量詞就翻轉它。

Negating the definition of "a_n -> L" mechanically.

Converges:
   for all eps > 0,  there exists N,  for all n >= N,  |a_n - L| < eps
   (∀ eps)          (∃ N)            (∀ n)            ( ... )

Flip every quantifier and negate the inside.
The inside |a_n - L| < eps negates to |a_n - L| >= eps.

Does NOT converge to L:
   there exists eps > 0,  for all N,  there exists n >= N,  |a_n - L| >= eps
   (∃ eps)               (∀ N)       (∃ n)                 ( ... )

In words: some fixed gap eps that the terms keep exceeding,
no matter how far out (n >= N) you look. That is exactly
what it means for the sequence to stay away from L.

Check on a_n = (-1)^n with L = 1: take eps = 1.
For any N, the next odd n >= N gives a_n = -1, so |a_n - 1| = 2 >= 1.
The negation holds, so (-1)^n does not converge to 1.

否定純粹是機械操作：在前綴上翻轉 ∀↔∃，再否定核心不等式。

注意否定給了你什麼：一個數列不斷違反的特定壞 ε。這就是為什麼[[divergence|發散]]證明與[[counterexample|反例]]總以「取 ε = …」開頭。一個 ∀ 命題的否定是一個 ∃ 命題，而 ∃ 命題靠給出一個明確的見證來證明。

蘊涵中的量詞

還有一塊。要否定一個蘊涵，記住 P ⇒ Q 等同於 ¬P ∨ Q，故 ¬(P ⇒ Q) 是 P ∧ ¬Q——前提成立而結論不成立。結合量詞規則，你現在能否定分析學中的任何命題。[[arbitrarily-small|任意小]]這個說法其實是「∀ε > 0」，所以它的否定是「存在一個我們無法越過的 ε > 0」——一個正的間隙。