什麼是命題？
命題是一句要麼真要麼假的話——絕不同時為真為假，也絕不既不真也不假。「2 是偶數」是命題（真）。「數列 1/n 收斂」是命題（真）。「x + 1」不是命題：在你說明 x 是什麼之前，它沒有真值。分析學完全由命題構築，因此第一項技能就是分辨哪些句子帶有真值，哪些只是表達式。
由簡單命題，我們用連接詞構造複合命題。你需要的四個是：且（P ∧ Q，僅當兩者都成立時為真）、或（P ∨ Q，至少一個成立時為真——數學家總是指相容的「或」）、非（¬P，翻轉真值），以及蘊涵（P ⇒ Q）。前三個很直觀，第四個值得單獨一節。
若 P 則 Q
蘊涵式 P ⇒ Q 是每條定理的主力。它只在一種情形為假：P 真而 Q 假。其餘三種情形它都為真。令人意外的是，只要 P 為假，P ⇒ Q 就為真——我們稱之為空虛為真。「若 3 是偶數，則我是月亮」是真命題，因為它的前提從不觸發。定理只在其前提成立時才作出承諾。
Truth table for P => Q P Q P => Q true true true true false false <-- the ONLY false row false true true (vacuously true) false false true (vacuously true) Read it as a promise: "if P happens, I guarantee Q." The promise is broken only when P happens and Q fails. If P never happens, the promise was never tested -> still kept. Example: "If a_n -> L and a_n -> M, then L = M" (limits are unique). When a sequence has no limit, the hypothesis P is false, so the statement holds vacuously for that sequence.
每個蘊涵都伴隨三個親屬。P ⇒ Q 的[[converse|逆命題]]是 Q ⇒ P——這是一個真正不同的命題，自身可真可假。[[contrapositive|逆否命題]]是 ¬Q ⇒ ¬P，它與原命題邏輯等價：證明其一即證明另一。而否命題 ¬P ⇒ ¬Q 與逆命題等價。把一個命題與它的逆命題混淆，是初學者證明中最常見的錯誤。
當且僅當
當 P ⇒ Q 與 Q ⇒ P 同時成立時，我們寫 P ⇔ Q，讀作「P 當且僅當 Q」（常縮寫為 *iff*）。此時 P 與 Q 互為充分必要條件：P 是 Q 的充分條件（P 保證 Q），也是必要條件（沒有 P 就沒有 Q）。分析學中的定義暗中都是 iff 命題——「數列有界當且僅當存在某個 M 界住它所有的項」。