勒貝格對黎曼：同樣的答案，更多的函數

一致：兩者都適用時值相同

新積分確實是一種擴展，而非競爭者。若 f 在 [a,b] 上有界且黎曼可積，則 f 也勒貝格可積，且兩個積分相等。你在微積分裡學到的東西無一被推翻：x^2 在 [0,1] 上的勒貝格積分仍是 1/3。證明用上下方的階梯函數（達布和）把 f 夾住，對這些階梯施用收斂定理，再讀出兩端極限的相等。

確切判據：不連續點為零測集

測度論甚至回答了黎曼只能含糊以對的老問題：到底哪些有界函數是黎曼可積的？黎曼可積的勒貝格判據乾淨俐落：[a,b] 上的有界函數黎曼可積當且僅當其不連續點集為零測集。並不要求處處連續——只要幾乎處處連續即可。

Lebesgue criterion:  f bounded on [a,b].
   f is Riemann integrable  <=>  { x : f is discontinuous at x } has measure 0.

Apply it:
  Dirichlet D:  discontinuous at EVERY point of [0,1]
                discontinuity set = [0,1], measure 1 =/= 0
                => NOT Riemann integrable.   (matches Guide 1)

  Thomae's function t(x):  t(p/q)=1/q (lowest terms), t(irrational)=0
                continuous at every irrational, discontinuous on Q
                discontinuity set = Q cap [0,1], measure 0
                => IS Riemann integrable, and integral = 0.

  A step function with finitely many jumps:
                discontinuity set is finite, measure 0
                => Riemann integrable.

分界線就是零測度：Dirichlet（處處不連續）失敗；Thomae（僅在有理點不連續）通過。

我們的所得：完備性

最深刻的回報是結構性的。勒貝格可積函數構成的空間 L1 是完備的：每個柯西列（在距離 integral |f_n - f_m| 之下）都收斂到一個仍屬於 L1 的極限。這就是 Riesz–Fischer 定理，更廣義地說就是 Lp 空間的完備性。與之類比的黎曼可積函數空間則不完備——柯西列可能收斂到落在該類之外的函數。勒貝格理論正是其自然的完備化。

這與把有理數完備化為實數是同一個升級故事：只有當極限始終留在空間內時，分析的機器才真正運轉。完備性正是使 L1 與 L2 成為傅立葉分析、概率論與微分方程求解的恰當歸宿的原因。第 2–3 篇的分層積分與第 4 篇的收斂定理，正是為你換來這份完備性的東西——這就是勒貝格積分值得搭建的全部理由。