為何交換極限與積分如此困難
我們想知道何時 lim integral f_n = integral lim f_n——即何時可以把極限挪進積分號內。對黎曼積分，這幾乎總需要一致收斂這一沉重的假設。著名的警示是逃逸的凸包：在 [0, ∞) 上令 f_n 在 [n, n+1] 上為 1、其餘處為 0。則 f_n 在每一點都趨於 0，可對所有 n 都有 integral f_n = 1。於是 lim integral f_n = 1 而 integral lim f_n = 0。質量漏到無窮遠去了。任何定理都必須有一個假設來排除這種情況。
單調收斂與法圖
[[monotone-convergence-theorem|單調收斂定理]]（MCT）。 若 0 <= f_1 <= f_2 <= … 可測且 f_n 逐點遞增趨於 f，則 integral f_n 遞增趨於 integral f。這個 「遞增」 假設正是阻止逃逸凸包的關鍵：不斷上漲的潮水無法把質量漏走。MCT 是驅動非負積分可加性的引擎，並經由它驅動全部線性性。
[[fatou-lemma|法圖引理]]。 對任意非負可測的 f_n（不假設單調、不假設收斂），integral(liminf f_n) <= liminf integral f_n。它是單向的安全網：在逃逸凸包的例子裡 liminf f_n = 0，故左端為 0，而 liminf integral f_n = 1——不等式 0 <= 1 成立，恰在質量逃逸處出現嚴格的損失。法圖引理由對 g_n = inf_{k>=n} f_k 應用 MCT 得到，這些 g_n 遞增趨於 liminf f_n。
Escaping bump: f_n = 1 on [n, n+1], 0 elsewhere on [0, infinity)
pointwise: for each fixed x, f_n(x) = 0 once n > x => f_n -> 0
integrals: integral f_n = 1 for every n
MCT? NO -- f_n is not increasing (the bump moves), so MCT does not apply.
Fatou: liminf f_n = 0
integral(liminf f_n) = 0 <= liminf integral f_n = 1. OK (strict).
Dominated? would need g >= |f_n| all n with integral g < infinity;
the smallest such g is 1 on [0, infinity), integral = infinity.
NO dominating majorant exists -> DCT does not apply either.控制收斂定理
[[dominated-convergence|控制收斂定理]]（DCT）。 設 f_n 幾乎處處趨於 f，且存在單個固定的可積控制函數 g——即對所有 n 有 |f_n| <= g，且 integral g < ∞。則 f 可積，且 lim integral f_n = integral f。更進一步，integral |f_n - f| -> 0。這是實際中最常動用的定理：不需要單調性、不需要一致收斂——只要逐點收斂，再由一個可積的 「蓋子」 g 把它壓住即可。
Proof of DCT from Fatou (sketch):
Hypotheses: f_n -> f a.e., |f_n| <= g, integral g < infinity.
Step 1. g + f_n >= 0. Apply Fatou to (g + f_n):
integral(g + f) <= liminf integral(g + f_n)
=> integral g + integral f <= integral g + liminf integral f_n
=> integral f <= liminf integral f_n.
Step 2. g - f_n >= 0. Apply Fatou to (g - f_n):
integral(g - f) <= liminf integral(g - f_n)
=> integral g - integral f <= integral g - limsup integral f_n
=> limsup integral f_n <= integral f.
Combine: limsup integral f_n <= integral f <= liminf integral f_n,
forcing lim integral f_n = integral f. QED