可積函數：拆成正部與負部

正部與負部

目前積分只對非負函數有定義。要處理既正又負的函數 f，就把它拆開。定義 f^+ = max(f, 0)、f^- = max(-f, 0)。兩者都非負且可測，並能乾淨地重組出 f：f = f^+ - f^-，且 |f| = f^+ + f^-。

f^+(x) = max(f(x), 0)        f^-(x) = max(-f(x), 0)

Both >= 0, both measurable.   Then for every x:
    f(x)  = f^+(x) - f^-(x)
    |f(x)|= f^+(x) + f^-(x)

Example.  f(x) = sin x on [0, 2pi]:
    f^+ = sin x on [0, pi],   0 on [pi, 2pi]
    f^- = 0 on [0, pi],       -sin x on [pi, 2pi]
    integral f^+ = 2,   integral f^- = 2
    integral f = integral f^+ - integral f^- = 2 - 2 = 0.

可積的定義，以及 L1

當 integral f^+ 與 integral f^- 都有限時，我們稱 f [[integrable-function|可積]]，並令 integral f = integral f^+ - integral f^-。判定此事的唯一乾淨標準是：f 可積當且僅當 |f| 的積分有限。所有這樣的 f 構成 L1 空間——即可和函數。要把兩片相減，必須避免無意義的 「+∞ 減 +∞」；要求 integral |f| < ∞ 正是排除這一點的條件。

線性性，以及忽略零測集

在 L1 上，積分終於是線性的：對實數 a,b，有 integral(af + bg) = a·integral f + b·integral g。積分的線性性通過化歸到非負情形、並重排正負部來證明（用到單調收斂所保證的可加性）。而且積分尊重 「至多差一零測集」 的相等：若 f 與 g 幾乎處處相等——即除一個零測集外處處相等——則 integral f = integral g。零測集對積分而言根本是隱形的。

一個有用的推論，積分的三角不等式：對每個 L1 中的 f，|integral f| <= integral |f|。把 integral f 寫作 integral f^+ - integral f^-，再與 integral f^+ + integral f^- = integral |f| 比較即得。在整個收斂理論中我們都將依賴這個界。