切分圖像下方面積的兩種方式
黎曼積分把定義域切成細長的豎直條：將區間 [a,b] 分割，在每條上取一個高度，再把寬乘以高相加。這對連續函數極為奏效，卻很脆弱。入場的代價是函數不能振盪得太劇烈——當條變窄時，條內的高度必須趨於穩定。
勒貝格積分把圖橫過來看：轉而把值域（y 軸）切成細薄的水平層。對位於高度 y 附近的某層，問的不是 「這條有多寬？」 而是 「f(x) 落在 y 附近的那些 x 構成的集合有多大？」 而這個 「大小」 正由 勒貝格測度提供。隨後我們把（層值）乘以（該值處集合的測度）相加。
黎曼無法積分的那個函數
設 D 是 [0,1] 上的 Dirichlet 函數：x 為有理數時 D(x)=1，x 為無理數時 D(x)=0。在任意子區間內，無論多麼微小，有理數與無理數都同時存在，故 D 在其上的上確界為 1、下確界為 0。每個達布上和都等於 1，每個達布下和都等於 0；二者永不相遇。因此 D 不是黎曼可積的。
勒貝格用一行作答。有理數可數，故其測度為零；無理數則填滿 [0,1] 直至那個零測集。逐層來看：值 1 所在的集合測度為 0，值 0 所在的集合測度為 1，於是積分為 1·0 + 0·1 = 0。這個函數太 「小」 了（它僅在一個零測集上與常值 0 不同），其積分乾脆就是 0。
Dirichlet D on [0,1]: D(x) = 1 (x rational), 0 (x irrational)
Riemann attempt:
any partition P, any subinterval I:
sup of D on I = 1 (I contains a rational)
inf of D on I = 0 (I contains an irrational)
Upper sum U(D,P) = sum (sup)*length = 1*(1) = 1 for EVERY P
Lower sum L(D,P) = sum (inf)*length = 0*(1) = 0 for EVERY P
upper integral = 1, lower integral = 0, 1 =/= 0 -> NOT Riemann integrable
Lebesgue view (slice the range):
set where D = 1 is Q cap [0,1], countable -> measure 0
set where D = 0 is the irrationals, measure 1
integral = 1 * measure{D=1} + 0 * measure{D=0}
= 1 * 0 + 0 * 1
= 0簡單函數：我們用來砌牆的磚
要嚴格地搭建逐層積分，需要乾淨的基本構件。特徵函數 1_A 在可測集 A 上取值 1，在其餘處取 0。簡單函數是它們的有限組合：s = c_1·1_{A_1} + … + c_n·1_{A_n}，只取有限多個值，每個值落在一個可測集上。簡單函數就是那種離散的、階梯狀的函數，其積分一目了然：把每一片的（值）乘以（測度）相加即可。
下面是讓整套理論得以運轉的關鍵結構性事實：每個非負[[measurable-function|可測函數]]都是簡單函數的遞增逐點極限。 因此，只要我們會對簡單函數積分、又會妥善地取極限，就能對每個可測函數積分。接下來的四篇指南正是逐層做這件事。