卷積、逼近恆等，與廣義函數的初步

卷積：空間中模糊，頻率中相乘

卷積 (f * g)(x) = 對 ℝ 積分 f(t) g(x − t) dt 是一個滑動加權平均：讓 g 在 f 上滑動並累積重疊。它的魔力是卷積定理 —— 把糾纏的卷積運算化為傅立葉側的純乘法。

Convolution theorem:   (f * g)-hat (xi) = f-hat(xi) * g-hat(xi).

Proof (f, g in L^1, so Fubini applies):
   (f * g)-hat(xi) = integral_x [ integral_t f(t) g(x - t) dt ] e^{-2pi i x xi} dx.

Swap order (Fubini -- absolute integrability of f(t) g(x-t) over R^2):
                = integral_t f(t) [ integral_x g(x - t) e^{-2pi i x xi} dx ] dt.

Inner integral: substitute u = x - t, so e^{-2pi i x xi} = e^{-2pi i t xi} e^{-2pi i u xi}:
   integral_x g(x-t) e^{-2pi i x xi} dx = e^{-2pi i t xi} * g-hat(xi).

Put it back:
                = [ integral_t f(t) e^{-2pi i t xi} dt ] * g-hat(xi) = f-hat(xi) * g-hat(xi).   QED

Readout:  convolving = blurring in x  <-->  pointwise multiplying spectra in xi.
Low-pass filtering, smoothing, and PDE solution operators are all 'multiply f-hat by something'.

在傅立葉變換下卷積變為乘積（富比尼 + 一次平移）。

逼近恆等：一個沒有取值的 δ

在函數之間卷積沒有真正的單位元：不存在使所有 f 都滿足 f * g = f 的 g。替代品是逼近恆等 {φ_ε}：非負、質量為 1、當 ε → 0 時在 0 處聚集。於是 φ_ε * f → f。我們已遇見兩個 —— 圓上的費耶爾核與直線上的高斯。每個都把 f 略加磨光，然後越來越少。

與光滑的 φ_ε 卷積得到光滑函數 φ_ε * f —— 求導落在 φ_ε 上，而它要多光滑有多光滑（磨光）。
由於 φ_ε * f → f，光滑函數是 L¹ 與 L² 的稠密子集 —— 這是黎曼–勒貝格與普朗歇爾背後的技術骨架。
當 ε → 0，族 {φ_ε} 想要收斂到單一對象 δ，使得恰好 δ * f = f —— 但沒有函數能做到。

廣義函數：用作用方式重新定義「函數」

極限 δ 不是函數 —— 沒有規則 x ↦ δ(x) 有意義。出路是不再問 δ 在某點是什麼，而只問它對測試函數做什麼。廣義函數是光滑且急速衰減的測試函數上的連續線性泛函；δ 就是那個讀出取值者：⟨δ, φ⟩ = φ(0)。普通函數透過 g ↦ (φ ↦ ∫ g φ) 嵌入，故廣義函數確實擴大了函數概念。