從係數到頻譜
在圓上，頻率是整數，函數對每個整數攜帶一個係數。現在讓週期無限增大。允許的頻率越擠越密，直到在極限處填滿一個連續統：離散的係數表變成一個關於實頻率 ξ 的函數。這個極限對象就是傅立葉變換。
對 ℝ 上的L¹ 函數 f，定義 f̂(ξ) = 對 ℝ 積分 f(x) e^{−2πi x ξ} dx。因 |e^{−2πixξ}| = 1 且 f 可積，積分絕對收斂，故 f̂ 良定且有界：對每個 ξ 有 |f̂(ξ)| ≤ ‖f‖₁。第一個結構事實：f̂ 連續（對參數 ξ 用控制收斂）。
黎曼–勒貝格：高頻衰減
黎曼–勒貝格引理說當 |ξ| → ∞ 時 f̂(ξ) → 0：快速振盪把可積函數平均為零。它是貝塞爾那裡 c_n → 0 的連續表親，並由一個乾淨的平移技巧證得。
Goal: f in L^1(R) => f-hat(xi) -> 0 as |xi| -> infinity.
Step 1 (shift trick). Since e^{-2pi i x xi} = -e^{-2pi i (x + 1/(2 xi)) xi}, substitute u = x + 1/(2 xi):
f-hat(xi) = - integral f(u - 1/(2 xi)) e^{-2pi i u xi} du.
Average this with the original definition:
f-hat(xi) = (1/2) integral [ f(x) - f(x - 1/(2 xi)) ] e^{-2pi i x xi} dx.
Step 2 (estimate). Take absolute values (|e^{...}| = 1):
|f-hat(xi)| <= (1/2) integral | f(x) - f(x - 1/(2 xi)) | dx = (1/2) || f - tau_h f ||_1, h = 1/(2 xi).
Step 3 (continuity of translation in L^1). As xi -> infinity, h -> 0, and translation is
continuous in L^1: || f - tau_h f ||_1 -> 0. (True for compactly supported continuous g
by uniform continuity; extend to all of L^1 by density of such g.)
Therefore |f-hat(xi)| -> 0. QED反演與普朗歇爾
能從 f̂ 重建 f 嗎？能 —— 傅立葉反演：若 f 與 f̂ 都可積，則在每個連續點 f(x) = 對 ℝ 積分 f̂(ξ) e^{+2πi x ξ} dξ。誠實的證明並非簡單地把 f̂ 代回（那個二重積分未必收斂）；而是插入高斯阻尼 e^{−εξ²} 使一切絕對收斂，把結果認作與高斯逼近恆等的卷積，再令 ε → 0。與費耶爾同樣的機器，只是換了核。