級數能回來嗎？貝塞爾、帕塞瓦爾與均方收斂

部分和使均方誤差最小

在追問級數是否收斂之前，先問一個更柔和的幾何問題：在所有 N 次三角多項式中，哪一個在均方意義下最接近 f？在希爾伯特空間中答案是被迫定下的：子空間中最近的點是正交投影，其座標正是傅立葉係數。因此部分和 S_N f 就是最佳的 N 次逼近，毫無例外。

Use the orthonormal tones e_n (the cos/sin scaled to unit norm) and write c_n = ⟨f, e_n⟩.
Let S_N = sum_{n=0}^{N} c_n e_n  be the partial sum, and let T = sum_{n=0}^{N} d_n e_n be ANY degree-N trig polynomial.

Compute the squared error, using ⟨e_m, e_n⟩ = 0 for m != n and = 1 for m = n (Pythagoras):

   ‖f - T‖^2 = ‖f‖^2 - 2 Re ⟨f, T⟩ + ‖T‖^2
             = ‖f‖^2 - 2 Re sum d_n^* c_n + sum |d_n|^2          (expand the inner products)
             = ‖f‖^2 - sum |c_n|^2 + sum |c_n - d_n|^2.            (complete the square)

The first two pieces do not depend on the choice of T.  The last piece sum |c_n - d_n|^2 >= 0,
and is ZERO exactly when d_n = c_n for all n.

=> ‖f - T‖^2 is minimized precisely by T = S_N.   The Fourier partial sum is the best L^2 fit.   QED

配方法：傅立葉部分和是唯一的最佳均方逼近。

貝塞爾不等式：能量有界

在上面的恆等式中取 T = S_N；由於 ‖f − S_N‖² ≥ 0，對每個 N 都有部分能量 sum_{n≤N} |c_n|² ≤ ‖f‖²。令 N → ∞ 即得貝塞爾不等式：sum |c_n|² ≤ ‖f‖²。兩份免費的禮物：係數級數收斂，且（由n 次項判別法）c_n → 0 —— 這是黎曼–勒貝格引理的先聲。

帕塞瓦爾：等號與完備性

當三角系完備時 —— 即沒有非零函數與每個純音都正交時 —— 貝塞爾不等式升級為等號，即帕塞瓦爾等式 sum |c_n|² = ‖f‖²。等價地，‖f − S_N‖ → 0：級數按均方收斂於 f。對每個平方可積的 f 都成立，而里斯–費舍爾定理給出逆命題：每個平方可和的係數列都是某個 L² 函數的傅立葉級數。