交換量詞的次序
逐點收斂把對所有 x 放在存在 N 之外：對每個 x，有某個 N。一致收斂則把「對所有 x」挪到 N 選定之後。其定義為：對每個 epsilon > 0 存在 N，使得對一切 n >= N 與一切 x ∈ E 都有 |f_n(x) - f(x)| < epsilon。一個 N 必須同時服務整個定義域。
用上確界範數重新打包
「對所有 x，|f_n(x) - f(x)| < epsilon」恰好是對最壞點的一個界。定義上確界範數 ||g|| = sup over x in E of |g(x)|，即函數所達的最大高度（用上確界，故即便最大值不被取到也有定義）。於是一致收斂就是簡潔的陳述 ||f_n - f|| -> 0：一個我們早已理解其趨零的數列。
- 先逐點計算 lim f_n(x)，得到候選極限 f。
- 構造誤差函數 e_n(x) = f_n(x) - f(x)。
- 計算 M_n = sup over x of |e_n(x)|——常藉助微積分，找出誤差最大處。
- 當且僅當 M_n -> 0 時收斂是一致的。若 M_n 不趨於 0，則只是逐點收斂。
演算：不肯消失的凸包
比較兩個在 [0,1] 上有相同逐點極限 0 的序列。上述配方給出一行判定。第一個是上一篇的 x^n；第二個是一個移動的尖峰。估計 M_n 決定每種情形。
Sequence A: f_n(x) = x^n on [0,1). Pointwise limit f = 0.
M_n = sup_{0<=x<1} |x^n - 0| = sup x^n = 1 (approached as x -> 1).
M_n = 1 does NOT go to 0 => NOT uniform. (matches Guide 1)
Sequence B: g_n(x) = n x (1 - x)^n on [0,1]. Pointwise limit g = 0
(for fixed x in (0,1], (1-x)^n -> 0 beats the factor n; g_n(0)=0).
Maximize: g_n'(x) = 0 gives the peak near x = 1/(n+1),
height g_n(1/(n+1)) = n * (1/(n+1)) * (n/(n+1))^n
~ (n/(n+1)) * e^{-1} -> 1/e ~ 0.368.
M_n -> 1/e != 0 => NOT uniform: a bump of fixed height 1/e
slides toward 0 but never flattens.
Sequence C: h_n(x) = x/n on [0,1]. Pointwise limit 0.
M_n = sup |x/n| = 1/n -> 0 => UNIFORM.