每個點一個極限
設對每個 n 都有定義在集合 E 上的函數 f_n。問序列 (f_n) 是否收斂，其實就是在 E 的每一點 x 分別問：數列 f_1(x), f_2(x), f_3(x), … 是否收斂。若對每個 x 都收斂，就說 (f_n) 逐點收斂，並定義極限函數 f 為 f(x) = lim f_n(x)。這裡發生的不過是把固定 x 處的數列極限逐點跑一遍而已。
用量詞寫出來，逐點收斂說：對每個 x ∈ E 與每個 epsilon > 0，存在 N（可同時依賴 x 和 epsilon），使得對一切 n >= N 有 |f_n(x) - f(x)| < epsilon。關鍵片語是「可依賴 x」。同一個 epsilon 在某點可能要求比另一點大得多的 N。正是這一個漏洞，製造了本篇所有的意外。
著名的反例
取 E = [0, 1] 與 f_n(x) = x^n。每個 f_n 是多項式，因而處處連續。我們來計算其逐點極限，會發現它並不連續——這是「連續性在取極限後總能保留」這一願望的乾淨反例。
f_n(x) = x^n on [0, 1].
Fix a point and take n -> infinity:
* If 0 <= x < 1: x^n -> 0 (geometric decay since |x| < 1).
* If x = 1: 1^n = 1 -> 1.
So the pointwise limit function is
f(x) = 0 for 0 <= x < 1,
f(1) = 1.
Every f_n is continuous on [0,1], but f has a jump at x = 1:
lim_{x -> 1^-} f(x) = 0 , f(1) = 1.
The limit of continuous functions is DISCONTINUOUS.為何 N 在角落附近失控
用量詞來診斷這次失敗。在 [0, 1) 上極限是 0，故需 x^n < epsilon。解得 n > ln(epsilon)/ln(x)。當 x 趨近 1 時，ln(x) 從下方趨於 0，所需的 n 便爆炸。沒有單一的 N 能同時對所有 x 奏效：這正是所缺的一致性，也是下一篇的主題。
Need x^n < epsilon = 0.01 on [0,1). x = 0.5 : n > ln(0.01)/ln(0.5) = 4.605/0.693 ~ 6.6 -> N = 7. x = 0.9 : n > ln(0.01)/ln(0.9) = 4.605/0.105 ~ 43.7 -> N = 44. x = 0.99: n > ln(0.01)/ln(0.99) = 4.605/0.0101~ 458 -> N = 459. As x -> 1^-, the required N -> infinity. No finite N serves the whole interval [0,1): convergence is NOT uniform, only pointwise.