從一條數軸到函數的空間

極限唯一需要的，就是距離

回頭看 ε–N 定義。它真正用到的實數特徵，只有 |a_n − L|——兩點之間的*距離*。它從不在乎這些點是不是數字。於是把唯一要緊的那樣東西抽象出來：度量是一個函數 d(x, y)，它度量距離並遵守三條誠實的規則——當且僅當兩點重合時為零、對稱、且滿足三角不等式 d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)。一個帶有這種距離的集合，就是一個度量空間。

The epsilon-N definition, with |.| replaced by a general distance d:

  x_n -> x  in a metric space  means:
     for every eps > 0  there is  N  such that
     n > N   ==>   d(x_n, x) < eps.

Word-for-word the same game as 1/n -> 0. Only |a_n - L| became d(x_n, x).

Three spaces, three distances, ONE definition of convergence:

  the real line R:    d(x, y) = |x - y|
  the plane R^2:      d((a,b),(c,d)) = sqrt((a-c)^2 + (b-d)^2)
  functions on [0,1]: d(f, g) = max over x of |f(x) - g(x)|     <- sup metric

In the THIRD line a single "point" of the space is an ENTIRE function,
and two functions are "close" when their graphs stay within eps
everywhere at once. Convergence there IS uniform convergence.

當函數成為點

第三種距離就是那一躍。[0, 1] 上的連續函數空間，配上*上確界距離* d(f, g) = max |f(x) − g(x)|，是一個度量空間，它的每個點都是一個函數。在這個空間裡的收斂，恰恰就是一致收斂——f_n 的整張圖被一次性擠進 f 周圍一條 ε 寬的帶子裡。一瞬間，一個*函數*數列就只是一個點列，而你在 1/n 上練出的每一種直覺都原封不動地適用。

如果這個空間還有與距離相容的加法和數乘，它就是一個賦範向量空間；如果它此外還完備——沒有任何函數的柯西數列指向一個洞——它就是一個巴拿赫空間。上一篇的完備性故事在更高一層重演：正如實數填平有理數的縫隙，*函數空間的*完備性保證一列擠作一團的函數真的收斂到空間內的某個函數。

同一個想法，一路向上

1. 實數軸。 一根軸，距離是 |x − y|。極限、連續性、導數、積分——整個第一門課的實分析都住在這裡。
2. 歐氏空間 R^n。 一下子好幾根軸；距離由畢氏定理給出。現在你有了多個變量、梯度和多元微積分——但極限讀起來一模一樣。
3. 一般的[[metric-space|度量空間]]。 扔掉坐標，只保留一個遵守三角不等式的距離 d。開集、完備性、緊性、以及不動點定理，全都住在這種純結構的層面上。
4. 一個函數空間。 現在每個點都是一整個函數；以上確界距離構成的連續函數巴拿赫空間，是通往泛函分析、傅立葉級數和現代微分方程理論的門戶。