一個看起來對、其實不對的論斷
這裡有一個讓人覺得顯然為真的命題：「如果一列函數中的每一個都連續，且這列函數收斂到某個極限函數，那麼極限函數也連續。」連續性理應熬過取極限的過程——能出什麼錯呢？然而它是錯的。一個具體的例子就能把它推倒，而看著這場推倒，就學到了嚴謹的全部精神。
Claim: f_n continuous for every n, and f_n -> f, imply f is continuous.
Counterexample on [0, 1]. Let f_n(x) = x^n.
Each f_n is a polynomial -> continuous everywhere. Good.
Find the limit f(x) = lim_{n->inf} f_n(x), point by point:
if 0 <= x < 1 : x^n -> 0 (a number below 1, raised to ever
higher powers, shrinks to 0)
if x = 1 : 1^n = 1 -> 1
So the limit function is
f(x) = 0 for 0 <= x < 1
f(1) = 1
Is f continuous at x = 1?
Approach 1 from the left: f(x) = 0, so the left-hand limit is 0.
But f(1) = 1. 0 is NOT 1.
-> f has a JUMP at x = 1. It is DISCONTINUOUS.
Every f_n was continuous; the limit f is not. The claim is FALSE.注意這個例子做了什麼。那個論斷是一個「對所有」型的命題——*對每一個*這樣的函數列，極限都連續。要摧毀一個「對所有」的論斷，你只需要一個它失敗的情形。這一個情形就是反例，它是數學裡最經濟的武器：一個例子勝過任何分量的「看起來很合理」。
為什麼圖像是證據，不是證明
一張圖只能在有限解析度下顯示有限多個像素。它能暗示某種規律，優秀的數學家也時刻倚靠圖像來找出該證明什麼。但圖像無法排除比一個像素更精細的行為，無法排除無窮遠處的行為，也無法排除某個孤立特殊點上的行為。x^n 那個例子，把它的跳躍藏在 x=1 附近一道無限薄的縫裡，任何有限的圖都分辨不出來。
證明到底必須做到什麼
證明不是修辭，也不是某種高度的自信；它是一條有限長的步驟鏈，每一步都從定義和先前已證的事實推出，從而在*每一種*被允許的情形下一次性逼出結論。「看起來合理」是關於一個例子的感覺；證明是關於所有例子的保證。這就是為什麼一個反例能擊敗一千個支持的例子，而一千個支持的例子永遠湊不成一個證明。
好消息在另一面。我們那個壞掉的論斷其實差一點點就對了；修法是補上缺失的假設。把「收斂」加強為*一致*收斂，連續函數的極限就真的連續（一致極限定理）。分析學不只會說不——它會找出那個讓定理成立的精確附加條件，這正是充分必要條件所講的事。