給出兩個答案的微積分
兩個世紀以來，微積分對行星、熱量、橋樑都給出了正確答案，所以很少有人擔心它的地基。但到了 1800 年代初，裂縫已經響得無法忽視。最令人不安的一個：一個無窮求和，僅僅把各項重新排列，結果就會改變。加法本應與順序無關——可這裡它卻有關。我們處理無窮的方式裡，有某種東西被默認了，卻從未被證明。
The alternating harmonic series, summed in order: S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ... = ln 2 (about 0.693) Now REORDER the SAME terms: one positive, then two negatives. 1 - 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/6 - 1/8 + 1/5 - 1/10 - 1/12 + ... Group each triple: (1 - 1/2) - 1/4 + (1/3 - 1/6) - 1/8 + (1/5 - 1/10) - 1/12 + ... = 1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 + 1/10 - 1/12 + ... = (1/2)(1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...) = (1/2) ln 2 (about 0.347) SAME terms, SAME values, just a different order -> HALF the sum. No step above is illegal in finite arithmetic. So WHICH step silently used a property of infinity that we never justified?
教訓不是加法壞掉了，而是「把無窮多個東西加起來」與「把有限個東西加起來」不是同一種運算，而我們一直把它們當作一回事。後來的重排定理精確解釋了：何時重排是安全的（僅當級數絕對收斂），何時是災難性的（對僅僅條件收斂的級數）。但要陳述那條定理，我們首先得給「無窮求和」一個精確的意義。
無窮小：有用，卻沒有定義
牛頓和萊布尼茨用無窮小 dx 來計算導數：一個小到最後可以丟掉、卻又不為零到中途可以拿來作除數的量。貝克萊主教譏諷它們是「逝去之量的幽靈」——他說得有道理。一個既是零又不是零的數，是個矛盾。計算給出了正確答案，可那個理由只是一種手法上的障眼法。
拒絕守規矩的函數
最後的震撼是：圖像會騙人。人人都「知道」一條連續曲線除了少數幾個尖角之外必定光滑。然後魏爾斯特拉斯造出了一個處處連續、卻在每一個點都有尖角的函數——一條你不抬筆就能畫出來、卻處處沒有切線的曲線。你畫不出它；直覺無處落腳。這是一個病態例子，它的職責正是擊碎一個我們從未核實過的信念。
一旦出現哪怕一個反例，一個含糊的信念就死了，只有謹慎的定義才能存活。分析學正是從清理這些震撼的殘局中成長起來的：它給無窮、極限、連續性、乃至實數本身一個精確到任何重排、任何幽靈、任何病態曲線都溜不過去的定義。這條學習路徑的其餘部分，就一塊一塊誠實地砌起這些定義。