三大原理：開映射、閉圖像、一致有界

開映射與閉圖像

設 X 與 Y 為巴拿赫空間，T: X -> Y 是有界滿射算子。開映射定理說 T 把開集映為開集。引人注目的推論是有界逆定理：若 T 還是雙射，則 T⁻¹ 自動有界。巴拿赫空間之間連續線性雙射的可逆性，免費附贈逆的連續性——沒有完備性這絕對不成立。

閉圖像定理是它的孿生。T 的圖像是 { (x, Tx) }。對巴拿赫空間之間的線性算子，T 有界若且唯若其圖像閉。實踐中這把證連續的工作減半：無須估計 ||Tx||，只需檢驗：每當 x_n -> x 且 Tx_n -> z，極限就逼出 z = Tx。你可以先假定 Tx_n 已收斂。

一致有界

一致有界原理（巴拿赫–施泰因豪斯）收束此三聯。設 (T_α) 是從巴拿赫空間 X 到賦範空間 Y 的一族有界算子。若對每個固定 x，集合 { ||T_α x|| } 有界，則算子範數 { ||T_α|| } 關於 α 一致有界。逐點控制免費升格為一致控制。其證明同樣是完備空間 X 內的貝爾綱論證。

Application: a pointwise limit of operators is bounded.
Let X, Y be Banach, T_n ∈ B(X, Y), and suppose
    T x := lim_n T_n x  exists for every x.
Claim: T is a bounded linear operator.

Linearity. Limits respect linear combinations:
   T(a x + b y) = lim (a T_n x + b T_n y) = a T x + b T y.

Boundedness. For each fixed x, (T_n x) converges, hence is
bounded, so sup_n ||T_n x|| < ∞. By uniform boundedness,
   M := sup_n ||T_n|| < ∞.
Then for every x:
   ||T x|| = lim_n ||T_n x|| ≤ sup_n ||T_n|| · ||x|| ≤ M ||x||.
So ||T|| ≤ M < ∞: T is bounded.   ∎

Note the leap: each T_n having finite norm is obvious, but
that the *common* bound M is finite — uniform over n — is
exactly what Banach–Steinhaus supplies.

巴拿赫–施泰因豪斯實戰：僅憑逐點收斂便得到一致範數界，故極限算子有界。

這三大原理，連同第 4 篇的哈恩–巴拿赫，構成線性泛函分析的經典支柱。注意整條主線反覆出現的教訓：完備性正是把柔軟的逐點或代數假設轉化為堅硬的定量界的東西。這種從存在到估計的轉化，正是巴拿赫空間成為正確框架的深層緣由。