對偶與里斯定理
X 上的線性泛函是線性映射 f: X -> 純量；當 |f(x)| ≤ C ||x|| 時它有界。所有有界線性泛函的集合，配以算子範數，就是對偶空間 X*。由於純量完備，X* 永遠是巴拿赫空間。對偶就是我們安放「測量儀器」的地方，每次用一個數來探測 X。
在希爾伯特空間中，對偶被徹底搞清。里斯表示定理說：H 上每個有界泛函 f 都是 f(x) = ⟨x, y⟩，其中 y 在 H 中唯一，且 ||f|| = ||y||。於是希爾伯特空間與其自身對偶等距同構：沒有新空間可發現。證明純粹是投影幾何。
Riesz representation (sketch with the geometry shown).
Let f ∈ H* be nonzero. Let M = ker f = { x : f(x) = 0 }.
M is a closed subspace (f is continuous), and M ≠ H.
Step 1. By the projection theorem M⊥ is nonzero; pick
z ∈ M⊥ with f(z) = 1 (rescale).
Step 2. For any x, the vector x - f(x) z lies in M because
f(x - f(x) z) = f(x) - f(x)·f(z) = f(x) - f(x) = 0.
Since z ⊥ M:
⟨x - f(x) z, z⟩ = 0
⇒ ⟨x, z⟩ = f(x) ⟨z, z⟩ = f(x) ||z||^2
⇒ f(x) = ⟨x, z / ||z||^2⟩.
So y = z / ||z||^2 represents f: f(x) = ⟨x, y⟩.
Step 3 (norm). By Cauchy–Schwarz |f(x)| ≤ ||y|| ||x||, and
f(y) = ⟨y, y⟩ = ||y||^2 = ||y|| · ||y||,
so the bound is attained: ||f|| = ||y||. ∎哈恩–巴拿赫：泛函總是足夠多
在希爾伯特空間之外，我們沒有內積來製造泛函，故對偶是否豐富並不顯然。哈恩–巴拿赫定理解決了這點：定義在賦範空間 X 的子空間 M 上的有界泛函，可以在不增大範數的前提下延拓到整個 X。延拓很少唯一，但總是存在，而這個存在性正是整個理論的引擎。
- 賦範泛函。 對任意非零 x，存在 f ∈ X*，||f|| = 1 且 f(x) = ||x||。（先在過 x 的直線上定義 f，再用哈恩–巴拿赫延拓。）
- 點的分離。 若 x ≠ y，則上述作用在 x − y 上的泛函區分它們，故 X* 分離 X 的各點。
- 範數還原。 ||x|| = sup{ |f(x)| : f ∈ X*, ||f|| ≤ 1 }。對偶恰好看到範數。