從長度到距離
泛函分析研究大到能裝下函數的向量空間，其中一個「點」可以是一整段訊號或一個解。要在那裡做分析，就需要一個「大小」的概念。實或複向量空間 V 上的一個範數是函數 ||·||: V -> [0, ∞)，滿足三條公理：||x|| = 0 當且僅當 x = 0（正定性），||λx|| = |λ| ||x||（齊次性），以及 ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||（三角不等式）。帶有這種範數的空間稱為賦範向量空間。
每個範數都透過 d(x, y) = ||x − y|| 誘導一個度量。於是賦範空間自動成為度量空間，所有度量概念——開球、收斂、柯西列——都免費隨之而來。多出來的結構是：這個度量是平移不變的，並隨純量線性縮放，從而把幾何與線性代數緊緊綁在一起。
完備性與巴拿赫空間
數列 (x_n) 稱為柯西列，若其各項最終聚攏：對每個 ε > 0，存在 N，使得當 m, n ≥ N 時 ||x_m − x_n|| < ε。賦範空間稱為完備，若每個柯西列都收斂到空間中的某點。完備的賦範空間恰是巴拿赫空間——本學科的核心對象。完備性意味著沒有遺失的極限，正如實數軸沒有空洞。
並非每個賦範空間都完備。經典反例是多項式空間，或 [0, 1] 上的連續函數在 L^1 範數下：某列可能是柯西的，其極限卻逃出了空間。把這種空間「完備化」——補上遺失的極限——是分析學者的標準操作，L^p 之類空間正是這樣誕生的。
Claim: the sequence space l^1 = { x = (x_1, x_2, ...) : sum |x_k| < ∞ }
with norm ||x||_1 = sum_k |x_k| is complete.
Let (x^(n)) be Cauchy in l^1. Fix ε > 0; choose N with
||x^(m) - x^(n)||_1 < ε for all m, n ≥ N. (*)
Step 1 (find the candidate limit, coordinatewise).
For each fixed coordinate k,
|x^(m)_k - x^(n)_k| ≤ ||x^(m) - x^(n)||_1 < ε,
so (x^(n)_k)_n is Cauchy in the scalars (which are complete).
Let x_k = lim_n x^(n)_k. Set x = (x_1, x_2, ...).
Step 2 (control finitely many coordinates, then let K grow).
From (*), for every finite K and all m, n ≥ N:
sum_{k=1}^{K} |x^(m)_k - x^(n)_k| < ε.
Let m -> ∞ (each term converges):
sum_{k=1}^{K} |x_k - x^(n)_k| ≤ ε for all n ≥ N, all K.
Let K -> ∞:
||x - x^(n)||_1 ≤ ε for all n ≥ N. (**)
Step 3 (the limit lives in l^1).
x = x^(N) + (x - x^(N)); the first is in l^1, and by (**)
the second has norm ≤ ε < ∞, so x ∈ l^1.
Step 4 (conclude). (**) says x^(n) -> x in ||·||_1. So every
Cauchy sequence converges in l^1: l^1 is a Banach space. ∎