從斜率到極限
取一個函數 f 和它定義域中的一點 a。對附近的點 x，差商 (f(x) − f(a)) / (x − a) 就是過兩個圖像點 (a, f(a)) 與 (x, f(a)) 的直線（割線）的斜率。對每個 x ≠ a，它都是一個誠實可算的數。當 x 被擠向 a 時，這個斜率所趨近的值就是導數。
形式地說，若差商當 x → a 時的極限存在，則稱 f 在 a 處可微，並把這個數記作 f′(a)。微分的全部內容都藏在這一個極限裡；後面的一切都是它的推論。令 h = x − a，同樣的定義就讀作 (f(a + h) − f(a)) / h 當 h → 0 時的極限，計算時往往更方便。
用定義直接算一個導數
我們不預設任何法則，直接用極限計算 f(x) = x² 在任意點 a 處的導數，讓你看清機器是怎麼運轉的。
Claim: f(x) = x^2 is differentiable at every a, with f'(a) = 2a.
Difference quotient (h ≠ 0):
(f(a+h) - f(a)) / h
= ((a+h)^2 - a^2) / h
= (a^2 + 2 a h + h^2 - a^2) / h
= (2 a h + h^2) / h
= 2a + h (valid because h ≠ 0, so we may cancel)
Now take the limit as h -> 0:
lim_{h->0} (2a + h) = 2a.
The limit exists, so f is differentiable at a and f'(a) = 2a. ∎
Sanity check at a = 3: f'(3) = 6, and the secant slopes 2(3)+h = 6+h
clearly approach 6 as h shrinks (h=0.1 -> 6.1, h=0.01 -> 6.01).可微迫使連續
本學科的第一個真正定理：若 f 在 a 處可微，則 f 在 a 處連續。這就是可微蘊含連續。證明是一行代數技巧加上極限的代數運算。
Theorem: if f is differentiable at a, then f is continuous at a.
Proof. For x ≠ a write the identity
f(x) - f(a) = ( (f(x) - f(a)) / (x - a) ) · (x - a).
As x -> a:
first factor -> f'(a) (this is exactly the derivative)
second factor -> 0 (since x - a -> 0)
By the algebra of limits, the product of the limits is the limit:
lim_{x->a} ( f(x) - f(a) ) = f'(a) · 0 = 0,
hence lim_{x->a} f(x) = f(a). That is continuity at a. ∎