全純即解析
這裡有一個實變量沒有的結果：每個 全純 函數都是 解析的。若 f 在圓盤 |z − a| < R 上全純，則在那裡 f 等於它自己的 泰勒級數，f(z) = Σ c_n (z − a)^n，係數 c_n = f^(n)(a) / n! 由 柯西公式 給出。所以全純——一個一階導數條件——竟暗指無窮可微且可用 冪級數 表示。收斂半徑 一直延伸到最近的 奇點。
三類奇點
孤立 [[singularity|奇點]] 是這樣一點 a：f 在去心圓盤 0 < |z − a| < R 上全純，但在 a 處不全純。恰有三種類型。可去：f 在 a 附近保持有界，可重新定義使之全純（如 sin(z)/z 在 0 處）。m 階 [[pole|極點]]：f 像 1/(z − a)^m 那樣爆破（如 1/(z − a)^3）。[[essential-singularity|本性奇點]]：比任何極點都狂野（如 e^(1/z) 在 0 處），由 Casorati–Weierstrass 定理，其取值會任意接近每個複數。
羅朗級數
要繞奇點展開，就允許 負冪。[[laurent-series|羅朗級數]] 是 f(z) = Σ_{n=−∞}^{∞} c_n (z − a)^n，在圓環 r < |z − a| < R 上成立。負冪部分是「主部」；它正是用來探測並分類奇點的。若主部為空，奇點可去；若主部止於 −m，你得到一個 m 階極點；若主部無盡，奇點為本性奇點。那一個係數 c_{−1} 便是 留數，下一篇的主角。
Laurent expansion of f(z) = e^z / z^3 around 0.
Start from the Taylor series of e^z (valid for all z):
e^z = 1 + z + z^2/2! + z^3/3! + z^4/4! + ...
Divide every term by z^3:
f(z) = e^z / z^3
= 1/z^3 + 1/z^2 + (1/2)*1/z + 1/3! + (1/4!) z + ...
Read off the structure on the annulus 0 < |z| < infinity:
principal part = 1/z^3 + 1/z^2 + (1/2)/z (stops at -3)
=> 0 is a POLE of order 3.
The residue is the coefficient of 1/z: c_{-1} = 1/2.
Classification check with e^{1/z} (contrast):
e^{1/z} = 1 + 1/z + 1/(2! z^2) + 1/(3! z^3) + ...
principal part has INFINITELY many terms => 0 is ESSENTIAL.