全純函數與圍道積分

全純：在開集上可導

若函數在開集 U 的每一點都複可導，就稱它在 U 上 [[holomorphic-function|全純]]。「開」這個字很關鍵：單點可導幾乎無用，但在整個鄰域上可導就能引出一連串定理。在整個 C 上全純的函數稱為 [[entire-function|整函數]]——多項式、exp(z)、sin(z)、cos(z) 都是整函數。

沿曲線積分

[[contour-integral|圍道積分]] 是把 f 沿一條路徑積分。用 z = γ(t)（t 屬於 [a, b]）參數化光滑曲線 γ，然後定義 ∫_γ f(z) dz = ∫_a^b f(γ(t)) γ'(t) dt——這就是一個關於實變量 t 的複值函數的普通積分。因子 γ'(t) 就是鏈式法則給出的「dz」。只要保持方向不變，積分值與參數化方式無關。

Workhorse computation:  integrate z^n around the unit circle.

Let gamma(t) = e^{i t},  t in [0, 2*pi].  Then gamma'(t) = i e^{i t}.

  integral_gamma z^n dz
    = integral_0^{2pi} (e^{i t})^n * (i e^{i t}) dt
    = i * integral_0^{2pi} e^{i (n+1) t} dt.

Case n = -1:
    = i * integral_0^{2pi} e^{0} dt = i * (2*pi) = 2*pi*i.

Case n != -1 (integer):
    integral_0^{2pi} e^{i m t} dt = [ e^{i m t} / (i m) ]_0^{2pi}
      = ( e^{i m 2pi} - 1 ) / (i m) = (1 - 1)/(i m) = 0,   m = n+1 != 0.
    So the integral is 0.

Result:   integral over |z|=1 of z^n dz  =  2*pi*i  if n = -1,  else 0.

唯一非零的結果（n = −1 時為 2πi）正是留數理論的種子。

ML 估計

複分析裡幾乎每個證明都用到一個界，即 ML 不等式：若在 γ 上 |f(z)| ≤ M，且 γ 長為 L，則 |∫_γ f dz| ≤ M·L。它直接來自積分的三角不等式。正是這一個估計，讓我們能透過把界 M 或長度 L 變小來斷定積分很小。

ML inequality and its proof sketch.

Claim:  | integral_gamma f(z) dz |  <=  M * L,
        where M = max over gamma of |f|, and L = length(gamma).

Proof.  | integral_a^b f(gamma(t)) gamma'(t) dt |
          <= integral_a^b | f(gamma(t)) | * | gamma'(t) | dt   (triangle ineq. for integrals)
          <= M * integral_a^b | gamma'(t) | dt
          =  M * L,    since integral_a^b |gamma'(t)| dt = arclength = L.   QED

Sample use:  bound integral over |z|=2 of 1/(z^2+1) dz.
  On |z| = 2:  |z^2 + 1| >= |z|^2 - 1 = 4 - 1 = 3,  so |1/(z^2+1)| <= 1/3 = M.
  Length L = 2*pi*2 = 4*pi.
  Hence | integral | <= (1/3)(4*pi) = 4*pi/3.    (a crude but valid bound)

界住被積函數，再乘以長度——搞定。