偏序集與格的兩種觀點
偏序集是一個集合 P 配一個自反、反對稱、傳遞的關係 ≤。「偏」意味著某些對可能不可比。你一直在用偏序集：按包含排序的子群、環的理想、按整除性排序的自然數。有限偏序集畫成哈斯圖——元素為頂點，當 y *覆蓋* x（x < y 且其間無嚴格中間元）時畫一條向上的邊 x — y。
格是這樣一個偏序集：每一對 {x, y} 都有最小上界 x ∨ y（並）與最大下界 x ∧ y（交）。這是*序*的觀點。還有一個等價的*代數*觀點：格是帶兩個二元運算的代數 (L, ∨, ∧)，滿足交換律、結合律、冪等律，以及吸收律 x ∨ (x ∧ y) ≈ x 與 x ∧ (x ∨ y) ≈ x。兩種觀點互相決定——定義 x ≤ y 為 x ∧ y = x——這恰恰說明了為何格作為等式簇棲身於泛代數之中。
分配 vs. 模
在諸格之中，兩條加強的恆等式最為關鍵。分配格滿足 x ∧ (y ∨ z) ≈ (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)（或其對偶）。模格滿足較弱的律：若 x ≤ z，則 x ∨ (y ∧ z) ≈ (x ∨ y) ∧ z。分配 ⟹ 模，絕不反之。群的子群格一般只在正規時為模——但*正規*子群的格，以及更一般地任何群、環或模的 Con(A)，總是模格。
Two small lattices tell distributive and modular apart -- the classic test.
M3 (the 'diamond'): bottom 0, top 1, three incomparable middles a,b,c.
Hasse: 1
/ | \
a b c
\ | /
0
Modular? YES. Distributive? NO. Check at x=a, y=b, z=c:
a ^ (b v c) = a ^ 1 = a
(a ^ b) v (a ^ c) = 0 v 0 = 0
a =/= 0, so distributivity FAILS.
N5 (the 'pentagon'): 0 < a < c < 1 and 0 < b < 1, with a,c each incomparable to b.
Hasse: 1
/ \
c b
| /
a /
\ /
0
Modular? NO. Take x=a, z=c (a <= c), y=b:
a v (b ^ c) = a v 0 = a
(a v b) ^ c = 1 ^ c = c
a =/= c, so MODULARITY fails.
Theorem (Dedekind/Birkhoff): a lattice is modular iff it has no sublattice
isomorphic to N5; distributive iff it has no sublattice iso to N5 or M3.布林代數
布林代數是一個帶最頂元 1 與最底元 0 的分配格，其中每個元素 x 都有一個補 ¬x，滿足 x ∨ ¬x = 1 與 x ∧ ¬x = 0。啟發性例子是冪集 2^S（配 ∪、∩、補）與經典真值的二元代數 {0, 1}。每個有限布林代數都同構於某個 2^S，因而有 2ⁿ 個元素——不存在恰有 3 個或 5 個元素的布林代數。
布林代數同樣是一個等式簇（簽名 (∨, ∧, ¬, 0, 1)），故全部泛代數機器都適用：子代數、同餘、自由布林代數。n 個生成元上的自由布林代數，是 n 個輸入的全體布林函數構成的代數——它有 2^(2ⁿ) 個元素，恰與真值表的數目相符。這正是「布林代數*就是*命題邏輯的代數」的精確含義，也使環路閉合：序論、等式類與自由代數在一個對象中相遇。