伯克霍夫定理：簇即等式類

定理陳述

稱（固定簽名下的）一類代數為等式類，如果它恰好是滿足某組恆等式 Σ 的全部代數構成的類。稱它為簇，如果它對上一篇的 H、S、P 封閉。伯克霍夫定理（1935）斷言這兩個概念重合：一類代數是等式類當且僅當它是簇。一個方向我們實質上已經完成；深刻之處在於其逆命題。

逆命題為何成立：自由代數挑大梁

設 V 是對 H、S、P 封閉的類。把 Σ 定義為 V 中每個代數都滿足的*全部*恆等式。顯然 V 的每個成員都滿足 Σ。困難在於反向包含：任何滿足 Σ 的代數 B 必已屬於 V。證明在足夠大的生成集 X 上構造自由代數 F_V(X)，把 B 實現為 F_V(X) 的同態像，並恰用那三條封閉性證明 F_V(X) ∈ V。

構造 V-自由代數 F = F_V(X)，X 大到足以滿射到 B 上。具體地，F 是 V 中諸成員之積的子代數（取遍到 V-代數的所有映射），故 F ∈ SP(V) ⊆ V。
選取滿射到 B 上的生成元；泛性質把它延拓為滿射 F ↠ B。於是 B ∈ H(V) ⊆ V——*前提是*該滿射合法，而這正是 Σ 登場之處。
B 滿足 Σ——即在整個 V 中成立的每條恆等式。這保證 B 中成立的關係*至少*包含 F 中被強制的那些，故映射 F ↠ B 是良定義同態。環路就此閉合：B ∈ H(SP(V)) ⊆ V。

The slogan:  V = HSP(K)  for the variety GENERATED by a class K.

Worked instance. Let K = { Z } as a group (one infinite cyclic group).
Claim: HSP(Z) = the variety of ALL abelian groups.
  P(Z): products Z^I are abelian.
  S:    subgroups of abelian groups are abelian.
  H:    quotients of abelian groups are abelian -- e.g. Z/nZ in H(Z).
So HSP(Z) is contained in the abelian-group variety.
Conversely every abelian group A is a quotient of a free abelian group
Z^(X) = a direct sum (subalgebra of a product) of copies of Z, so
  A in H(S(P(Z))).
Hence HSP(Z) = abelian groups, defined by the single identity
  x + y  approx  y + x   (on top of the group identities).

Contrast: the class of FIELDS is NOT a variety.
  A product of two fields, e.g. F2 x F2, has the zero-divisor (1,0)(0,1)=(0,0),
  so it is not even an integral domain -- P fails. No set of identities can
  define fields.

由一類生成的簇就是它的 HSP；阿貝爾群 = HSP(Z)，而體對積不封閉。

它給你什麼，又禁止什麼

伯克霍夫遞給你一個*判定準則*。要證明某類不是等式類，你只需展示一處封閉性失敗：一個逃出該類的子代數、商或積。體在積處失敗（體之積有零因子）；無撓阿貝爾群在商處失敗（Z 無撓但 Z/2Z 有撓）；有限群在無窮積處失敗。每個反例都只是一次座標層面的計算，而非模型論論證。