集合上的自由對象
你其實已經遇到過自由對象，只是沒冠以此名：多項式環 R[x] 是 {x} 上的自由交換 R-代數；集合上的自由群是群中的自由對象。泛代數把這些統統打包。固定一個簽名與一類代數 K（比如所有群，或所有格）。生成元集合 X 上的自由代數 F_K(X) 是 K 中的一個代數，配一個映射 X → F_K(X)，使得從 X 到 K 中任意 A 的任何映射都*唯一地*延拓為同態 F_K(X) → A。
這就是泛性質：F_K(X) 是 K 中由 X 生成的最一般的代數，除 K 的恆等式強制者外不帶任何關係。其構造是具體的。先取變量 X 上所有項構成的項代數 T(X)——這是*絕對*自由代數，不滿足任何恆等式。然後對強制 K 全部定義恆等式的最小同餘作商。所得即 F_K(X)，其元素是「在可證相等意義下的項」。
Free group on X = {x, y}, written F(x,y).
Elements = reduced words in x, y, x^{-1}, y^{-1} (no adjacent a a^{-1}).
From term algebra to free group:
term: ·( ·(x, inv(x)), y )
group identities force ·(x, inv(x)) approx e and ·(e, y) approx y
so this term collapses to: y
Two terms land in the same class of F(x,y) iff group axioms PROVE them equal.
Universal property in action. To map F(x,y) -> S_3, just choose images:
x |-> (1 2), y |-> (1 2 3)
This extends to a UNIQUE homomorphism phi: F(x,y) -> S_3, with e.g.
phi(x y x^{-1}) = (1 2)(1 2 3)(1 2) = (1 3 2).
Every such choice of two elements of S_3 gives exactly one homomorphism
-- that is precisely what 'free on {x,y}' means.恆等式即自由代數中的相等
下面這一點正是讓自由代數成為整套理論引擎的回報。變量 x₁,…,xₙ 中的恆等式 s ≈ t 在 K 類的*每個*代數中成立，當且僅當 s 與 t 指稱自由代數 F_K(x₁,…,xₙ) 的同一個元素。在無窮多個代數上檢驗一條恆等式，歸結為在一個代數中的一次相等判定。這正是為何 F_K(X) 有時被稱為自由項代數：它是檢驗等式的泛場所。
類上的三種運算：H、S、P
給定單一簽名下的一類代數 K，三個算子生成新的類。H(K) 是 K 成員的全體同態像；S(K) 是全體子代數；P(K) 是全體（可能無窮的）直積。每一個都由一條可手工驗證的封閉性事實所支撐：滿足某恆等式的代數，其商、其子代數、其積都滿足同一恆等式。這三者是下一篇的承重運算。
- H — 若 A 滿足 s ≈ t 且 A ↠ B，則 B 滿足 s ≈ t：經滿射提升到 A 來在 B 中驗證該恆等式。
- S — 子代數用同樣的運算（限制後）求值項，故 A 中成立的任何恆等式在每個子代數中都成立。
- P — 積中的運算逐坐標作用，故恆等式在 ∏ Aᵢ 中成立當且僅當在每個 Aᵢ 中成立；對 P 的封閉性立得。