同餘與商代數

為何子對象還不夠

對群，你按正規子群作商；對環，按理想作商。它們看似不同的機制，實則在做同一件事：指定*哪些元素被黏合在一起*。描述商的誠實對象，是 A 上一個與運算相容的等價關係 θ。這樣的 θ 稱為同餘，它對每個簽名都適用——甚至對格或半群這類不存在「核作為子集」描述的結構也適用。

具體地說，θ ⊆ A × A 是同餘，如果它是等價關係且*相容*：對每個 n 元運算 ω，只要對所有 i 有 aᵢ θ bᵢ，就有 ω(a₁,…,aₙ) θ ω(b₁,…,bₙ)。相容性恰恰是無歧義地在等價類上定義運算所需的條件。於是商代數 A/θ 以各類 [a]_θ 為底集，規定 ω([a₁],…,[aₙ]) := [ω(a₁,…,aₙ)]，而投影 a ↦ [a] 是滿同態。

同構定理，一勞永逸

每個同態 f: A → B 都有一個核同餘 ker f := { (a, a′) : f(a) = f(a′) }。它總是同餘（直接由同態性質驗證相容性）。於是第一同構定理無需任何按結構的改動即可讀出：A / ker f ≅ image(f)，經由 [a] ↦ f(a)。第一卷中關於商環與關於群的定理，正是同一命題在兩個簽名下的讀法。

Lattice example where congruences, not subobjects, run the show.
Let L be the chain 0 < a < b < 1 (a 4-element lattice, join = max, meet = min).

Define theta by collapsing a and b together, keeping 0 and 1 apart:
  classes:  {0},  {a, b},  {1}

Check compatibility for join (max) and meet (min):
  a theta b. Take join with 1:  a v 1 = 1,  b v 1 = 1.  1 theta 1.  OK
  a theta b. Take meet with 0:  a ^ 0 = 0,  b ^ 0 = 0.  0 theta 0.  OK
  a theta b. join with a:       a v a = a,  b v a = b.  a theta b.  OK
Every operation respects theta, so theta is a congruence.

Quotient L/theta is the 3-element chain  {0} < {a,b} < {1}.
The projection L -> L/theta is a surjective lattice homomorphism, and
there is NO subset of L whose 'class of bottom' alone records this gluing
-- you genuinely need the relation theta itself.

在格中，商由整個同餘編碼，而非由單個特殊類編碼。

同餘格

A 上所有同餘構成的集合 Con(A)，按包含序排列，本身就是一個格——事實上是完備格：同餘的任意交仍是同餘（故下確界存在），而一族同餘的並所生成的最小同餘即為其上確界。最底元是對角 Δ = { (a,a) }（此時 A/Δ ≅ A），最頂元是 A × A（此時 A/(A×A) 是單元素代數）。Con(A) 的結構是一個深刻的不變量；例如 A 在泛代數意義下單，當且僅當 Con(A) 恰有兩個元素。