一個定義統攬一切
在第一卷裡，你一次研究一種結構，證明關於群、環、體的定理。泛代數注意到這些證明常常共享一副骨架，而這副骨架本身可以直接研究。一個代數是一個非空集合 A 連同一族運算，每個運算有固定的元數 n（一個函數 A^n → A）。零元運算（元數為 0）不過是選定的一個常元。運算符號連同其元數的列表稱為簽名（或類型）。
用這種語言來說，群是簽名為 (·, ⁻¹, e)、元數為 (2, 1, 0) 的代數：一個二元乘法、一個一元求逆、一個零元單位。格的簽名是 (∨, ∧)，兩者皆為二元。環的簽名是 (+, ·, −, 0)，元數為 (2, 2, 1, 0)。重點不在於新奇——而在於一旦你固定了簽名，子結構、同態與商的概念就被強制確定下來，對於該類型的每一種結構都完全相同。
項與恆等式
給定一個簽名與一組變量 X，項是任何由變量與運算符號按元數規則構造出的合式表達式。項是語法；它們組成我們將稱為項代數的自由對象。恆等式是兩個項之間的形式等式 s ≈ t，而一個代數滿足它，是指對變量的每一種取值該等式都成立。結合律 x·(y·z) ≈ (x·y)·z 是一條恆等式；格的吸收律 x ∨ (x ∧ y) ≈ x 也是。
為什麼堅持公理必須是恆等式，而不是任意的一階語句？因為恆等式被我們關心的所有構造保持——子代數、積、同態像。體構成的類*不是*等式類（x ≠ 0 → x·x⁻¹ = 1 用到了蘊含與不等式），這恰恰說明了為何體的子環未必是體，以及為何體的積不是體。由等式公理化的類性質要好得多，刻畫它們正是伯克霍夫定理（第 4 篇）。
Signature of a group: F = { · (arity 2), inv (arity 1), e (arity 0) }
Three terms in variables x, y, z:
t1 = ·(x, ·(y, z)) -- usually written x(yz)
t2 = ·(·(x, y), z) -- usually written (xy)z
t3 = ·(x, inv(x)) -- usually written x x^{-1}
Group axioms as identities (s approx t):
associativity: ·(x, ·(y,z)) approx ·(·(x,y), z)
right identity: ·(x, e) approx x
right inverse: ·(x, inv(x)) approx e
Check in A = Z/6Z under addition (so '·' is +, 'inv' is negation, e = 0):
assign x = 5. Then ·(x, inv(x)) = 5 + (-5) = 5 + 1 = 6 = 0 = e. OK
The identity x x^{-1} approx e holds for ALL x in Z/6Z, hence Z/6Z
satisfies it. A single failing assignment would refute the identity.