三個變量與矩陣初探

向下消元，向上回代

三元方程組有三個關於 x、y、z 的方程。策略與你熟悉的消元法相同，只是用兩次：把成對的方程組合起來消去一個變量，把三元三方程降為二元兩方程。解出這個較小的方程組，再用回代逐級向上，找回被消去的變量。

Solve:   x + y + z = 6      (1)
         2x - y + z = 3      (2)
          x + 2y - z = 2     (3)

Add (1)+(3) to kill z:   2x + 3y = 8     (A)
Add (2)+(3) to kill z:   3x + y  = 5     (B)

From (B): y = 5 - 3x.  Substitute into (A):
   2x + 3(5 - 3x) = 8
   2x + 15 - 9x = 8
   -7x = -7  ->  x = 1
Then y = 5 - 3(1) = 2,  and z = 6 - x - y = 6 - 1 - 2 = 3.

Solution: (1, 2, 3).  Check (2): 2 - 2 + 3 = 3 ✓

把一個變量消兩次，解出 2×2 核心，再回代。

增廣矩陣：把記賬整理乾淨

反覆書寫 x、y、z 很浪費——變的只是數字。增廣矩陣是一個只裝係數和右端常數的矩陣，用一道豎線代替等號。每一行就是一個方程。

高斯消元正是你剛做的消元，只不過作用在行上。允許的操作是初等行變換：交換兩行、把某行乘以一個非零數、或把某行的倍數加到另一行。你把矩陣化成階梯狀的零，然後回代。

Same system as a matrix [ coeffs | rhs ]:
   [ 1   1   1 | 6 ]
   [ 2  -1   1 | 3 ]
   [ 1   2  -1 | 2 ]

R2 -> R2 - 2*R1,  R3 -> R3 - R1:
   [ 1   1   1 |  6 ]
   [ 0  -3  -1 | -9 ]
   [ 0   1  -2 | -4 ]

R3 -> 3*R3 + R2  (clear the y-column below):
   [ 1   1   1 |  6 ]
   [ 0  -3  -1 | -9 ]
   [ 0   0  -7 | -21 ]

Last row: -7z = -21 -> z = 3.  Back up: y = 2, x = 1.

行變換把對角線下方化為零；最後一行直接給出 z。