當直線錯開或重合：數解的個數

三幅圖，三種結果

平面上的兩條直線只能有三種情況。它們可以相交一次——一個解。可以平行而永不相遇——無解。或者是同一條直線畫了兩遍——有無窮多個公共點。這就是二元線性方程組的全部可能。

這套術語描述兩個獨立的性質。方程組若至少有一個解，就是相容方程組；若沒有解，就是不相容方程組。另外，相容方程組若恰有一個解，就是獨立方程組；若兩個方程描述同一條直線、有無窮多個解，就是相依方程組。

代數如何向你發出信號

你未必能事先看出斜率。求解過程本身會提示這些特殊情形：如果消元把兩個變量都消去、留下一個假命題，那就是矛盾——無解。如果留下像 0 = 0 這樣的真命題，那就是恆等式——無窮多解。

Inconsistent (no solution):
   x + y = 2
   x + y = 5
Subtract:  0 = -3   <- false, a contradiction.
The lines are parallel; no pair satisfies both.

Dependent (infinitely many):
   x + y = 2
   2x + 2y = 4
The second is just twice the first.
Multiply eq 1 by 2 and subtract:  0 = 0  <- always true.
Every point on x + y = 2 works.

1. 照常嘗試消去一個變量。
2. 若得到關於一個變量的普通方程，方程組就是獨立的——直接求解。
3. 若兩個變量都消失、得到假命題，判定為不相容：無解。
4. 若兩個變量都消失、得到真命題，判定為相依：無窮多解。