級數、求和符號與無窮和

從數列到級數

級數是把數列的各項相加得到的結果。前 n 項的和叫第 n 個部分和，記作 Sₙ。所以如果數列是 3, 7, 11, 15，那麼 S₄ = 3 + 7 + 11 + 15 = 36。

求和符號（希臘大寫字母西格瑪，Σ）把冗長的和緊湊地打包起來。Σ 下方是起始編號，上方的數是終止編號，右側的公式告訴你要加什麼。你代入每個編號值，然後把結果加總。

Read and expand a sigma sum:

  sum from k=1 to 4 of (2k + 1)

Substitute k = 1, 2, 3, 4:
  k=1: 2(1)+1 = 3
  k=2: 2(2)+1 = 5
  k=3: 2(3)+1 = 7
  k=4: 2(4)+1 = 9

Add:  3 + 5 + 7 + 9 = 24

求和符號：代入每個編號值，再把結果相加。

部分和公式

對於等差級數有一個漂亮的捷徑。把第一項與最後一項配對，第二項與倒數第二項配對，依此類推：每對的和都是 (a₁ + aₙ)。共有 n 項，所以有 n/2 對，給出 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2——首末兩項的平均值乘以項數。

Sum 1 + 2 + 3 + ... + 100  (arithmetic, d = 1)

a_1 = 1,  a_n = 100,  n = 100

S_n = n(a_1 + a_n)/2
S_100 = 100(1 + 100)/2
      = 100(101)/2
      = 10100/2
      = 5050

配對技巧：Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 把 100 次加法變成一次計算。

對於等比級數，部分和是 Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，只要公比 r ≠ 1 就成立。例如 2 + 6 + 18 + 54 中 a₁ = 2，r = 3，n = 4，所以 S₄ = 2(1 − 3⁴)/(1 − 3) = 2(1 − 81)/(−2) = 2(−80)/(−2) = 80。

當無窮相加得到有限數

驚喜在這裡。如果等比的公比滿足 |r| < 1，各項縮小趨於零的速度足夠快，以至於無窮等比級數加起來等於一個有限的總和：S = a₁/(1 − r)。看部分和公式——當 |r| < 1 時，rⁿ 那一項隨 n 增大而消退為 0，恰好剩下 a₁/(1 − r)。

Infinite series:  1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

a_1 = 1,   r = 1/2   (and |1/2| < 1, so it converges)

S = a_1 / (1 - r)
  = 1 / (1 - 1/2)
  = 1 / (1/2)
  = 2

The endless sum settles on exactly 2.

當 |r| < 1 時，無窮等比級數收斂到 a₁/(1 − r)。