兩種描述，同一數列
遞迴公式分兩部分定義數列：一個初始值（或多個初始值），以及一條由前面的項構建每個新項的規則。相比之下，一般項公式把 aₙ 直接表示為位置 n 的函數，無需知道前面的項。
Same sequence, two ways: 3, 7, 11, 15, 19, ... Recursive: a_1 = 3, a_n = a_(n-1) + 4 (each term = previous + 4) Explicit: a_n = 3 + (n - 1)(4) = 4n - 1 Recursive must walk: a_4 = a_3 + 4 = 11 + 4 = 15 Explicit jumps: a_50 = 4(50) - 1 = 199 (no need to find a_49 first)
各自的優勢所在
當每一步都用上一步來定義時，遞迴公式很自然——餘額上累加的利息、繁衍的種群、著名的費氏規則 aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂。它們陳述起來容易，但查詢起來慢：要得到第 100 項，你必須先算出它前面的全部 99 項。
一般項公式則相反：更難發現，但它們讓你代入任意 n 就能立即落到那一項。對於等差和等比數列，我們已經有了簡潔的一般項形式，所以做直接計算時通常更傾向於用它們。
把遞迴轉換為一般項
- 讀懂遞迴規則。如果它是 aₙ = aₙ₋₁ + d，則數列為等差，公差為 d。如果它是 aₙ = aₙ₋₁ · r，則為等比，公比為 r。
- 從初始值讀出第一項 a₁。
- 把 a₁ 和 d（或 r）代入相應的一般項公式：等差用 aₙ = a₁ + (n − 1)d，等比用 aₙ = a₁ · r^(n − 1)，然後化簡。
Convert: a_1 = 6, a_n = (1/2) * a_(n-1) This is geometric: r = 1/2, a_1 = 6 Explicit: a_n = a_1 * r^(n - 1) = 6 * (1/2)^(n - 1) Check: a_3 = 6 * (1/2)^2 = 6 * 1/4 = 3/2 List: 6, 3, 3/2, 3/4, ... (each is half the last — correct)