等差數列與等比數列

等差：每次加相同的量

等差數列透過每步加上同一個數來增長。那個固定的數叫公差，記作 d。在 3, 7, 11, 15, … 中你每次加 4，所以 d = 4。你總能用後一項減去前一項來求出 d：d = aₙ₊₁ − aₙ。

要到達第 n 項，你從 a₁ 出發，總共加 d 共 (n − 1) 次——比位置數少一步，因為第一項還沒走任何一步。這給出一般項公式 aₙ = a₁ + (n − 1)d。注意它關於 n 是線性的，很像斜率為 d 的線性方程。

Arithmetic sequence: 3, 7, 11, 15, ...

a_1 = 3,   d = 7 - 3 = 4

Explicit formula:  a_n = a_1 + (n - 1)d
                   a_n = 3 + (n - 1)(4)
                   a_n = 3 + 4n - 4
                   a_n = 4n - 1

Check the 5th term:  a_5 = 4(5) - 1 = 20 - 1 = 19   (3,7,11,15,19 — yes)

等比：每次乘相同的倍數

等比數列透過每步乘以同一個數來增長。那個固定的乘數叫公比，記作 r。在 5, 10, 20, 40, … 中你每次乘 2，所以 r = 2。你用後一項除以前一項來求出 r：r = aₙ₊₁ / aₙ。

要到達第 n 項，你從 a₁ 出發，總共乘 r 共 (n − 1) 次，給出一般項公式 aₙ = a₁ · r^(n − 1)。指數同樣是 (n − 1)，原因相同。由於變量 n 位於指數上，等比數列的行為就像在整數處取值的指數函數。

Geometric sequence: 5, 10, 20, 40, ...

a_1 = 5,   r = 10 / 5 = 2

Explicit formula:  a_n = a_1 * r^(n - 1)
                   a_n = 5 * 2^(n - 1)

Check the 4th term:  a_4 = 5 * 2^(4 - 1) = 5 * 2^3 = 5 * 8 = 40   (matches)

如何區分兩者

1. 計算相鄰項的差 aₙ₊₁ − aₙ。如果它們全相等，則為等差數列，那個常數就是 d。
2. 如果差不恆定，就計算相鄰項的比 aₙ₊₁ / aₙ。如果這些比全相等，則為等比數列，那個常數就是 r。
3. 如果差和比都不恆定，則該數列兩者都不是——它可能遵循二次、費氏式或其他規則。