整環、分式與 ED ⊂ PID ⊂ UFD 之塔

整環及其分式域

整環是沒有零因子的非零交換環：ab = 0 強制 a = 0 或 b = 0。等價地，非零元可消去——這正是你像在整數裡那樣做代數所需的。把整環變成體的構造模仿了從 Z 造出 Q 的方式：作分式 a/b（b ≠ 0），當 ad = bc 時聲明 a/b = c/d，並驗證各運算有良好定義。

結果是分式體 Frac(R)，即包含 R 的最小體，並帶有泛性質：任何從 R 到某個體的單同態都唯一地經由 Frac(R) 分解。對 R = Z 得到 Q；對 R = k[x] 得到有理函數體 k(x)；對高斯整數 Z[i] 得到 Q(i)。消去律不可或缺——若 R 有零因子，a/b = 0/1 便無法由 ad = bc 檢出，該關係也就不再是等價關係。

分解整環之塔

現在進入本指南的核心：三類整環，每一類對因式分解保證得更多。歐幾里得整環有一個大小函數（範數 N）支撐帶餘除法：對 a, b ≠ 0 存在 q, r 使 a = bq + r 且 r = 0 或 N(r) < N(b)。主理想整環（PID）是每個理想都由單個元素生成的整環。唯一分解整環（UFD）是每個非零非單位元都能分解為不可約元、且分解在不計次序與相伴的意義下唯一的整環。

The inclusions   Fields ⊂ Euclidean ⊂ PID ⊂ UFD ⊂ Integral domains.

Why ED ⇒ PID:
  Let I ≠ 0 be an ideal. Pick b ∈ I with N(b) minimal among nonzero
  elements of I. For any a ∈ I divide: a = bq + r, r = a − bq ∈ I.
  If r ≠ 0 then N(r) < N(b), contradicting minimality. So r = 0,
  hence a = bq ∈ (b). Thus I = (b) is principal.            ∎

Why PID ⇒ UFD (sketch):
  Noetherian (every ideal f.g.) ⇒ factorizations into irreducibles exist;
  in a PID irreducible ⇒ prime, which forces uniqueness.

Strictness of the chain:
  Z[(1+√−19)/2]   is a PID but NOT Euclidean (no norm works).
  Z[x]            is a UFD but NOT a PID:  (2, x) is not principal.
  Z[√−5]          is NOT a UFD:  6 = 2·3 = (1+√−5)(1−√−5).

每個包含都是嚴格的，由一個標準反例佐證。

慢慢走一遍這條嚴格性之鏈，因為它是考試經典。環 Z[(1+√−19)/2] 是一個完全沒有歐幾里得函數的 PID——證明它是 PID 需要一個巧妙的「近歐幾里得」（Dedekind-Hasse）論證，而證明它非歐幾里得則要排除一切可設想的範數。多項式環 Z[x] 是 UFD（下一指南用高斯引理證明）但不是 PID，由需要兩個生成元的理想 (2, x) 見證。而 Z[√−5] 是唯一分解失敗的典範：6 有兩種真正不同的分解，因為 2、3、1±√−5 全都不可約卻非素。

不可約與素

使整座塔運轉的關鍵區分：不可約元不能被拆成兩個非單位元之積；素元 p 具有更強的性質 p | ab ⇒ p | a 或 p | b。在整環中素總是蘊含不可約，但反之僅在 UFD 中成立。在 Z[√−5] 中元素 2 不可約卻非素——它整除 (1+√−5)(1−√−5) = 6 卻不整除任一因子——而正是這一處失敗使那裡的分解不唯一。