素理想與極大理想

兩句口訣

下面是定義，以你應當永久記住的口訣形式給出。一個真理想 P 是素的，若 ab ∈ P 強制 a ∈ P 或 b ∈ P——等價地，R/P 是整環。一個真理想 M 是極大的，若沒有理想嚴格地夾在 M 與 R 之間——等價地，R/M 是體。環論條件與商環條件之間的互譯就是全部內容，且兩個方向都很短。

Proof that P prime ⇔ R/P is a domain.

  ab ∈ P  ⇔  (a+P)(b+P) = ab + P = 0  in R/P.
  So "ab ∈ P ⇒ a ∈ P or b ∈ P"
     ⇔  "(a+P)(b+P)=0 ⇒ a+P=0 or b+P=0"
     ⇔  R/P has no nonzero zero divisors
     ⇔  R/P is an integral domain.            ∎

Proof that M maximal ⇔ R/M is a field.
  Ideals of R/M  ↔  ideals of R containing M   (correspondence theorem).
  M maximal ⇔ only such ideals are M and R
           ⇔ only ideals of R/M are (0) and R/M
           ⇔ R/M is a field (a comm. ring with exactly two ideals). ∎

極大蘊含素，但反之不然

每個體都是整環，故商環刻畫立即給出：每個極大理想都是素理想。反之不成立，而這一失敗很有啟發。在 Z 中，素理想是 (0) 與各素數 p 的 (p)；極大理想恰是這些 (p)。唯一的例外是 (0)：它是素的（Z 是整環）但不是極大的（它含於每個 (p) 內）。於是「(0) 素而非極大」記錄了一個事實：Z 是一個不是體的無限整環。

一個二維例子讓這道縫隙變得幾何化。在 R = k[x,y] 中，理想 (x) 是素的——R/(x) ≅ k[y] 是整環——卻不是極大的，因為 (x) ⊊ (x,y) ⊊ R。這裡 (x,y) 是極大的，商環為 k。素理想鏈 (0) ⊊ (x) ⊊ (x,y) 長度為 2，這個長度就是二元多項式環的 Krull 維數。非極大的素理想正是一個環記錄「自己維數大於零」的方式。

譜，與局部環

把 R 的所有素理想收集成一個集合 Spec R，即素譜。這是代數幾何的首個對象：Spec R 的點是素理想，極大理想是「經典」點，而非極大的素理想是把子簇撐大的「一般」點。恰有一個極大理想的環稱為局部環；在一個素理想處局部化（後續指南將講）是製造局部環的標準方法，相當於聚焦到單獨一點上。

1. 檢驗素性時，取商並問「這是整環嗎？」——通常比直接驗證 ab∈P 更快。
2. 檢驗極大性時，取商並問「這是體嗎？」——例如 R[x] 中的 (x²+1) 是極大的，因為商環是 C。
3. 在主理想整環（下一指南）中，非零素理想與極大理想重合，故維數降為 1，Spec 格外簡單。