誘導：從子群升到群
設 H ≤ G，W 是 H 的表示。誘導表示 Ind_H^G W 透過大致地在 H 的每個陪集上放一份 W，並讓 G 置換陪集、同時在每份內由 H 作用，從而構造大群的表示。其維數為 [G:H]·dim W。具體地 Ind_H^G W = C[G] ⊗_{C[H]} W，是沿包含 C[H] ↪ C[G] 的純量擴張——一旦有了模的張量積，這便是最乾淨的定義。
讓誘導可用的工具是 Frobenius 互反律：⟨Ind_H^G W, V⟩_G = ⟨W, Res_H^G V⟩_H，其中 Res 是限制回 H。換言之，G 的不可約 V 在誘導表示中的重數，等於 W 在 V 限制到 H 後的重數。它把困難的樓上計算變成容易的樓下計算——而它正是兩個函子之間的伴隨，誘導是限制的左伴隨。
Inducing from H = A_3 = {e,(123),(132)} (index 2) up to G = S_3.
A_3 = Z/3Z is abelian, three 1-dim characters psi_0, psi_1, psi_2
with psi_j((123)) = omega^j, omega = e^{2 pi i /3}.
Induce the trivial psi_0 of A_3: dim = [S_3:A_3]*1 = 2.
Its character on classes (e,(12),(123)) is
Ind psi_0 (e) = 2
Ind psi_0 ((12)) = 0 (transpositions have no A_3-conjugate fixed)
Ind psi_0 ((123)) = psi_0((123)) + psi_0((132)) = 1 + 1 = 2
=> character (2, 0, 2) = trivial (+) sign of S_3. (reducible)
Induce psi_1 instead: character (2, 0, omega + omega^2) = (2, 0, -1)
=> exactly the STANDARD irreducible of S_3.
Check by Frobenius reciprocity: <Ind psi_1, standard>_{S_3}
= <psi_1, Res standard>_{A_3} = 1. OK特徵標作為代數的影子
退回到群代數。因為 C[G] 是半單環，Artin–Wedderburn 定理說它分裂為矩陣代數之積：C[G] ≅ ∏ᵢ Mat_{dᵢ}(C)，每個不可約表示對應一個因子，大小是其次數 dᵢ。兩邊比較維數立刻重得 Σ dᵢ² = |G|。關於特徵標的一切——正交關係、不可約個數、正則表示——都是這個矩陣環之積的結構，透過跡來看。
讓群變為無限
當 G 是連續群（如圓周 U(1) 或旋轉群 SO(3)）時，什麼得以保留？關鍵一招是取平均 (1/|G|) Σ_g。對緊群存在唯一的不變機率測度——Haar 測度——故取平均變為積分 ∫_G ⋯ dg。僅憑這一替換，Maschke、Schur 與正交關係都原樣通過：每個有限維表示都完全可約，特徵標仍是正交歸一的類函數。
有限群中「C[G] 分解為含每個不可約表示的矩陣塊」的陳述，變成 Peter–Weyl 定理：不可約表示的矩陣係數構成 L²(G) 的正交歸一基。對 U(1) 這正是經典的Fourier 級數——它的不可約表示是特徵標 z ↦ zⁿ，而 Peter–Weyl 就是 {eⁱⁿᵗ} 的完備性。於是表示論把調和分析作為交換情形包含其中。