類函數上的內積
在函數 G → C 上引入 Hermite 內積 ⟨α, β⟩ = (1/|G|) Σ_{g∈G} α(g) · β(g) 的共軛。第一正交關係是基石：不可約特徵標是正交歸一的，⟨χᵢ, χⱼ⟩ = δᵢⱼ（i = j 時為 1，否則為 0）。由於特徵標是類函數且每個共軛類對應一個不可約表示，不可約特徵標構成類函數空間的一組正交歸一基。
它從何而來？取不可約表示 V, W。對任意線性映射 f: V → W 取平均得 f₀ = (1/|G|) Σ_g ρ_W(g) f ρ_V(g)⁻¹，它是等變的。由 Schur，當 V ≇ W 時 f₀ = 0，當 V = W 時 f₀ = (tr f / dim V)·id。對這兩種情形取矩陣元並求和，恰好給出 ⟨χ_V, χ_W⟩ = δ。正交關係就是把記帳做完了的 Schur 引理。
用內積分解
現在任意表示 V 分解為 ⊕ mᵢVᵢ，而重數就是一個內積：mᵢ = ⟨χ_V, χᵢ⟩。要分析一個表示，你不再追逐不變子空間——只需對每個不可約表示算一個數。這是整個理論的實用回報。
- 在每個共軛類上算 χ_V——若 V 是置換表示，往往只需數不動點。
- 對特徵標表中每個不可約 χᵢ，用按類的加權和算 mᵢ = ⟨χ_V, χᵢ⟩。
- 讀出 V ≅ ⊕ mᵢVᵢ；用 Σ mᵢ·(dim Vᵢ) = dim V 與 Σ mᵢ² = ⟨χ_V, χ_V⟩ 自檢。
正則表示
讓 G 透過左乘作用在群代數 C[G] 自身上——這是正則表示。它的特徵標很戲劇化：χ_reg(e) = |G| 而 g ≠ e 時 χ_reg(g) = 0，因為 g ≠ e 的左乘是基 G 的無不動點置換。把它代入 mᵢ = ⟨χ_reg, χᵢ⟩ 得 mᵢ = (1/|G|)·|G|·χᵢ(e) = dim Vᵢ。於是正則表示包含每一個不可約表示，且每個的重數等於它自身的次數。
Counting dimensions in the regular representation of S_3. C[S_3] has dimension |S_3| = 6. Regular rep decomposes as reg = (dim V_i) copies of each V_i: reg = 1*trivial (+) 1*sign (+) 2*standard dim check: 1*1 + 1*1 + 2*2 = 1 + 1 + 4 = 6. OK Reading the e-column gives the famous identity: SUM over irreducibles of (degree)^2 = |G|. For S_3: 1^2 + 1^2 + 2^2 = 6. This identity, plus #irreducibles = #conjugacy classes, often pins down the ENTIRE list of degrees by hand. E.g. a group of order 8 with 5 classes must have degrees d satisfying d_1^2+...+d_5^2 = 8 with five positive integers => 1,1,1,1,2 (four linear chars and one 2-dim).