Maschke：在群上取平均
設 W ⊆ V 是子表示。能否找到一個互補的子表示 W'，使 V = W ⊕ W' 且*兩者*都 G-不變？樸素的向量空間補空間存在，但未必 G-不變。Maschke 定理說：若 G 有限且 char k 不整除 |G|（如 k = C），則可以——不變補空間總是存在。因此每個有限次表示都是完全可約的，即不可約表示的直和。
證明是平均技巧，本學科最重要的一招。取 V 到 W 的任意投影 π（僅線性，尚非 G-不變）。在群上對其共軛取平均：π₀ = (1/|G|) Σ_g ρ(g) π ρ(g)⁻¹。除以 |G| 正是需要 char k ∤ |G| 之處。平均後的映射 π₀ 是到 W 的 G-等變投影，其核就是不變補空間。
Schur：不可約之間的映射
Maschke 給出零件；Schur 引理管控它們如何拼合。G-等變（或交結）映射 φ: V → V' 是滿足 φ ρ(g) = ρ'(g) φ 對所有 g 成立的線性映射。Schur：若 V, V' 不可約，則任何這樣的 φ 要麼為 0，要麼是同構。理由：ker φ 與 im φ 都是子表示，故各自為 0 或全體；要避免逼出 φ = 0，唯一辦法是 φ 為雙射。
在 C 這樣的代數閉體上有更銳利的下半句：從不可約表示到自身的任何等變映射 φ: V → V 都是純量，φ = λ·id。為何？φ 有特徵值 λ；於是 φ − λ·id 是等變的且核非零，由上半句它為 0。這正是第 3、4 篇所有正交關係背後的引擎。
Schur in action: which matrices commute with an irreducible rep?
Take G = Z/4Z acting on C^2 by powers of J = [0,-1; 1,0] (i acts as J).
This 2-dim rep is NOT irreducible over C: J has eigenvalues +i, -i,
so C^2 = (eigenline for +i) (+) (eigenline for -i), two 1-dim subreps.
Matrices commuting with all rho(g): a full 2-dim space {diag in that basis}.
Now an honestly irreducible example: G = Q8 (quaternion group) on C^2
via i -> [i,0; 0,-i], j -> [0,1; -1,0].
The only matrices commuting with BOTH are scalars lambda*I.
That lone scalar-matrix algebra is exactly Schur's lemma over C.為何這就是整個結構理論
把它們合起來。Maschke 給出 V = m₁V₁ ⊕ m₂V₂ ⊕ ··· 分解為不可約表示。Schur 說重數 mᵢ 是唯一的：Vᵢ 出現的份數等於 dim Hom_G(Vᵢ, V)，與基的選取無關。於是 C 上的有限群表示由一列非負整數（每個不可約表示一個）決定其同構類。這正是 k[G] 的 Artin–Wedderburn 分解，透過半單詞典來讀。