慢慢看定義
你已經知道群作用是映射 G × X → X。表示是其中的特殊情形：X 是體 k 上的向量空間 V，而每個群元素都作為線性映射作用。具體地，G 的一個表示是同態 ρ: G → GL(V)，其中 GL(V) 是 V 上可逆線性映射構成的群。選定一組基後 GL(V) 就變成 GL(n,k)，因此表示具體來說就是給每個 g 指定一個矩陣 ρ(g)，使得 ρ(gh) = ρ(g)ρ(h)。
V 的維數是表示的次數。最簡單的是平凡表示：每個 g 都作為 k 上的恆等作用。若 ρ 單射，則表示是忠實的——它不丟失 G 的任何資訊。關鍵在於借力：群難以捉摸，但矩陣我們能算特徵值、跡與秩。表示就是一臺顯微鏡，把群結構變成線性代數。
Two representations of the cyclic group Z/3Z = {0,1,2}, generator g.
Trivial (degree 1): rho(g) = [1]
A faithful degree-2 real representation = rotation by 120 degrees:
rho(g) = [cos120, -sin120; sin120, cos120]
= [-1/2, -sqrt(3)/2; sqrt(3)/2, -1/2]
Check the relation g^3 = e:
rho(g)^3 = rotation by 360 deg = [1,0; 0,1] (identity) OK
Over C this same group also has the two 1-dim reps
rho_j(g) = omega^j where omega = e^{2 pi i/3}, j = 1, 2.子表示與不可約性
在 V 內部，某些子空間是特殊的：若 W ⊆ V 是 G-不變的，即對每個 g 都有 ρ(g)W ⊆ W，則 W 是一個子表示。此時 ρ 限制為 W 上的表示。一個非零表示若其僅有的 G-不變子空間是 0 與 V，則稱為不可約的——它無法分解成更小的塊。不可約表示是理論的原子；整個目標就是找到它們並由它們拼出其餘一切。
注意與環論的類比：子表示之於表示，正如理想之於環，而不可約性是單性在表示論中的近親。下面我們將精確化這一點：存在一個環，它的模恰好就是 G 的表示。
表示就是模
這裡是統一的思想。構造群代數 k[G]：以 G 的元素為基的向量空間，其乘法把群運算線性延拓。那麼 G 的表示恰好就是 k[G] 上的模。基元素 g 在向量上的作用就是 ρ(g)，而形式和 Σ c_g g 透過 Σ c_g ρ(g) 作用。子表示變成子模，不可約表示變成單模。