有理方程、增根與反比例變化

用清除分母來求解

有理方程令有理表達式彼此相等。最乾淨的求解辦法是清除分母：把兩邊的每一項都乘以最小公分母。分數消失了，剩下一個多項式方程——常常是線性的，有時是二次方程——而那你已經會解。

Solve   3/(x - 2)  +  1  =  x/(x - 2)

LCD = (x - 2).  Multiply every term by (x - 2):
   3 + (x - 2) = x
   3 + x - 2 = x
   x + 1 = x
   1 = 0      <- false, no solution

There is NO value of x that works.
(And x = 2 was excluded from the start anyway.)

把每一項都乘以 LCD，一舉消去所有分數。

為什麼必須檢驗：增根

清除分母可能引入一個增根——一個能解出清分母後的多項式、卻使原方程某個分母為零的值，因此它從一開始就不被允許。它不是真正的解；它是乘法帶來的假象。補救辦法是把每個解代回原方程檢驗，並捨棄任何落在排除值上的解。

Solve   x/(x - 4)  =  4/(x - 4) + 2

LCD = (x - 4).  Multiply every term:
   x = 4 + 2(x - 4)
   x = 4 + 2x - 8
   x = 2x - 4
   -x = -4
   x = 4

CHECK x = 4 in the original:
   denominator (x - 4) = 0  ->  undefined!
   x = 4 is EXTRANEOUS, reject it.

Solution set: empty (no valid solution).

x = 4 滿足清分母後的方程，但它是排除值——所以是增根。

反比例變化：一個有理的故事

反比例變化是說兩個量的乘積恆定：y = k/x，等價地 xy = k。一個增大，另一個就縮小。數 k 是比例常數，對給定情形是固定的。注意 y = k/x 本身就是一個有理表達式，所以 x = 0 被排除——這在物理上也講得通（你不能用零去除那個固定的乘積）。

y varies inversely with x, and y = 6 when x = 4.

Model:   y = k/x
Find k:  6 = k/4  ->  k = 24
So:      y = 24/x   (equivalently xy = 24)

Predict y when x = 3:
   y = 24/3 = 8

As x falls from 4 to 3, y rises from 6 to 8 — the product xy stays 24.

用一組已知數對求出 k，然後模型就能預測其他每一組數對。

把它和正比例變化（y = kx）對照，那裡兩個量一起漲落。反比例變化是它的有理表親——至此，你已經從定義、四則運算，一直走到求解與建模，完整地見識了有理表達式。