加法、減法與複合分數

構造最小公分母

要把分數相加，你需要一個共同的分母。最小公分母（LCD）是每個分母都能整除的最小表達式——即各分母的最小公倍數。構造方法是把每個分母因式分解，取每個不同因式出現的最高次冪。

Add   3/(x^2 - x)  +  2/(x - 1)

Factor the denominators:
   x^2 - x = x(x - 1)
   x - 1   = (x - 1)

LCD = x(x - 1)   [every distinct factor, highest power]

Rewrite each fraction over the LCD:
   3/[x(x-1)]  stays as is
   2/(x-1) = 2·x / [x(x-1)] = 2x/[x(x-1)]

Combine numerators over the LCD:
   (3 + 2x) / [x(x - 1)]  =  (2x + 3) / [x(x - 1)]

   x ≠ 0,  x ≠ 1

給每個分數乘上缺少的因式，讓每個分母都變成 LCD。

減法：分配那個負號

加法和減法共用一套流程，但減法有一個著名的陷阱：負號作用於整個第二個分子。把那個分子放進括號裡，在合併同類項之前把負號分配進去。

Subtract   (2x + 1)/(x - 3)  -  (x - 4)/(x - 3)

Same denominator already, so combine over (x - 3):
   [(2x + 1) - (x - 4)] / (x - 3)

Distribute the minus across (x - 4):
   (2x + 1 - x + 4) / (x - 3)        <- note -(-4) = +4

Combine like terms:
   (x + 5) / (x - 3),   x ≠ 3

−(x − 4) 變成 −x + 4。忘記這個符號翻轉是最常見的錯誤。

複合（繁）分數

複合分數是指其分子或分母本身又是分數的分數——分數疊在分數上。最乾淨的方法是：把上半部分化成一個分數，把下半部分化成一個分數，然後用乘以倒數來做除法。

Simplify the complex fraction   (1 + 1/x) / (1 - 1/x^2)

Top  as one fraction:   1 + 1/x   = (x + 1)/x
Bottom as one fraction: 1 - 1/x^2 = (x^2 - 1)/x^2 = (x-1)(x+1)/x^2

Divide = multiply by the reciprocal of the bottom:
   (x + 1)/x  ·  x^2 / [(x - 1)(x + 1)]

Cancel (x + 1) and one x:
   x / (x - 1),    x ≠ 0,  x ≠ 1,  x ≠ -1

合併上半，合併下半，再用翻轉做除法——複用第 3 篇的倒數技巧。