有理表達式的乘法與除法

乘法：分子乘分子，分母乘分母

有理表達式的乘法遵循與 2/3 · 4/5 = 8/15 相同的規則：分子乘分子，分母乘分母。不過聰明的順序是先因式分解、約分、再相乘——這樣數字保持小，答案也已經是最簡形式。

Multiply   (x^2 - 4)/(x^2 + 6x + 9)  ·  (x + 3)/(x - 2)

Factor every piece:
   (x - 2)(x + 2)        (x + 3)
  ----------------  ·  ---------
     (x + 3)(x + 3)      (x - 2)

Cancel (x - 2) and one (x + 3) across the product:

   (x + 2)
  ---------
   (x + 3)

Result:  (x + 2)/(x + 3),   x ≠ -3,  x ≠ 2

任意一個分子上的因式可以與任意一個分母上的相同因式約去。

除法：乘以倒數

做除法時，把除數取倒數再相乘。這個翻轉後的分數就是該表達式的倒數——它的乘法逆元。正如 1/2 ÷ 3/4 = 1/2 · 4/3，有理表達式的除法就變成了你已經會做的乘法。

Divide   (x^2 - 1)/(x + 4)  ÷  (x - 1)/(x^2 + 4x)

Flip the second fraction and multiply:
   (x^2 - 1)/(x + 4)  ·  (x^2 + 4x)/(x - 1)

Factor:
   (x - 1)(x + 1)        x(x + 4)
  ----------------  ·  -----------
     (x + 4)              (x - 1)

Cancel (x - 1) and (x + 4):
   (x + 1) · x  =  x(x + 1)  =  x^2 + x

Result:  x^2 + x,   x ≠ -4, x ≠ 0, x ≠ 1

限制來自出現過的每一個分母——包括你翻轉的那個。

兩者共用的一套流程

如果是除法，把第二個分數翻成倒數，並把 ÷ 改成 ·。
把每個分子和每個分母都徹底因式分解。
把任意分子上的因式與任意分母上的相同因式約去。
把剩下的相乘；記下出現過的每個分母帶來的排除值。